[RISOLTO]Integrale per sostituzione?

[psykomantisita]

Salve,

non capisco come muovermi con questo integrale:

$\int \frac{4}{x\sqrt{x^{2}-4}}dx$

Se provo a sostituire $x^2$ non vado da nessuna parte perchè mi servirebbe una $x$ a numeratore.

Farlo per parti non ha senso perchè mi troverei un logaritmo oppure (ad occhio) un arcsin dentro all'integrale successivo... Come mi devo muovere?

[Summerwind78]

Ciao


se poni $x^2=u$

hai che $du=2xdx$ quindi $dx= 1/(2x) du$

pertanto il tuo integrale diventa

[tex]\displaystyle 4 \int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-4}} dx = 4 \int \frac{1}{2x^{2}\sqrt{x^{2}-4}} du = 4 \int \frac{1}{2u\sqrt{u-4}} du[/tex]

[psykomantisita]

Ok, ma come continuerebbe? Questo non mi è chiaro...

[21zuclo]

è un integrale binomio

In particolare per gli integrali di questa forma $ \int x^(\alpha)(a+bx^(\beta))^(\gamma)dx $ con $\alpha, \beta, \gamma\in \mathbb{Q}$

se $ (\alpha+1)/(\beta)\in \mathbb{Z} $
allora si applica questa sostituzione $ a+bx^(\beta)=t^(n) $ ove $n$ è il denominatore di $\gamma$

quindi nel tuo caso $4 \int x(x^2-4)^(-1/2)dx $

con $ { ( \alpha=1 ),( \beta=2 ),( \gamma=-1/2 ):} $, ok quindi $ (\alpha+1)/(\beta)=(1+1)/(2)=1\in \mathbb{Z} $

quindi hai che
$ x^2-4=t^2\to x=\sqrt(t^2+4)\to dx=(t)/(\sqrt(t^2+4))dt $

se sostituisci tutto hai che
$ 4 \int (\sqrt(t^2+4))/(\sqrt(t^2))\cdot (t)/(\sqrt(t^2+4))dt =4 \int dt =... \text{concludi tu} $

[psykomantisita]

Ok grazie, se semplifico le frazioni ho:

$4\int \frac{t}{\sqrt{t^{2}}}dt$

Volendo con $z=t^2$ ho $dz = 2t dt$, quindi:

$2\int \frac{2t}{\sqrt{t^{2}}}dt$

$2\int \frac{1}{\sqrt{z}} dz$

$2\int z^{-\frac{1}{2}} dz = 4\sqrt{z}$

Tornando in $x$ ho $z=t^2 = x^2-4$ dunque $4\sqrt{x^2-4}$ ? perchè il mio testo non da questa soluzione a meno di aver sbagliato qualcosa io.

[21zuclo]

scusa ho sbagliato io a scrivere su qui..

il tuo integrale è $ 4\int (dx)/(x\sqrt(x^2-4)) $

che lo porti a $ 4\int x^(-1)(x^2-4)^(-1/2)dx $

con la sostituzione che ti ho spiegato prima.. è tutto identico tranne che hai $ \alpha=-1 $

quindi si ha che le sostituzioni sono uguali..

$ 4\int (1)/((t^2+4)^(1/2)(t^(1/2))^2)\cdot (t)/((t^2+4)^(1/2))dt =4\int (1)/(t^2+4)dt$

che questo dovresti saperlo fare..

chiedo scusa comunque..errore mio..

se non ti ricordi come si fa l'ultimo integrale..

$\int (1)/(1+((ax+b)/(c))^2)dx=c/a \arctan((ax+b)/(c))+C $

[psykomantisita]

Ah ok, perfetto grazie!