[risolto]Esercizio serie di funzione

[*brssfn76]

Ciao a tutti!
Sto da poco studiando le serie di funzioni e mi sono imbattuto nella difficoltà di discutere la convergenza uniforme. Mi dareste una mano in questo esercizio?

Data la serie $\sum_[n=1]^infty (-1)^n (e^(1/n) -1)^x$

Stebilire se vi è convergenza uniforme sull'insieme di convergenza puntuale

L'insieme di convergenza puntuale a me viene $I_p:=(0,+infty)$ spero questo almeno giusto. Oraosservo che $f_n(x)>=f_(n+1)(x)$ ed il dominio di f è $(0,+infty)$. Per verificare che vi sia convergenza uniforme occorre verificare $\text<sup>_(I_p)[|f_n(x)-f(x)|]<\epsilon$ ossia $\text_(I_p)[(e^(1/n)-1)^x]=1$ pertanto in Ip non c'è convergenza uniforme.
Per lo stesso ragionamento si trova che la convergenza uniforme esiste in un qualsiasi intervallo contenuto in Ip. Spero sia giusto qualcuno mi sa dire qualcosa?

grazie</sup>

[alberto861]

dunque per l'intervallo di definizione ci siamo nella convergenza puntuale perchè per quanto riguarda le code della serie hai che per $n$ grande $e^{1/n}=1+1/n+o(1/n)$ e quindi la serie si comporta come $\sum (-1)^n 1/{n^x}$ che converge per $x>0$. Per la successione di funzioni che determina la serie hai $sup_{x>0}|(e^{1/n}-1)^x|=1$ per cui non c'è convergenza uniforme

[*brssfn76]

quindi anche tu mi confermi che l'intervallo non ha convergenza unifome.......... possiamo inoltre dire $AA a,b : (a,b) sube (0, +infty), 0 $f_n(x) \to f(x)$ (nn so come scrivere il simbolo delle 2 frecce...)

[alberto861]

in realtà è uniforme su $[a,+\infty)$ per $a>0$

[*brssfn76]

Ok è vero grazie

[*brssfn76]

"alberto86":in realtà è uniforme su $[a,+\infty)$ per $a>0$

Riporto un vecchio post perchè oggi ho prelevato alcuni esercizi che il proff mi ha corretto e per questo esercizio sulla convergenza uniforme sull'insieme di convergenza puntuale mi ha scritto una nota che mi mette in testa + di un dubbio poichè pensavo di aver scritto in modo corretto:

scrivendo che $\text<sup>_[[a,+\infty)] |(e^(1/n)-1)^x| <= (e^(1/n) -1)^a ->0 => f_n $ converge unif. nell'intervallo indicato con a>0.
Il prof. mi ha scritto che non è sufficiente poiche bisogna dimostrare la convergenza uniforme con il criterio di Leibnitz (ad esempio) ponendo $|R_k(x)| <=|f_(k+1)(x)|$ per cui si trova cmq che converge unif su $[a,+\infty]$ con a>0.

Potreste per cortesia scrivere la forma in cui andrebbe esibita la convergenza uniforme per a>0? è un po' che la studio ma evidentemente ho ancora qualche lacuna.....

grazie</sup>

[*brssfn76]

SCUSATE!!!!!

SONO UN IDIOTA!

E' evidente che la serie è a segni alterni......e me l'ero drasticamente scordato nel senso che sul foglio non ho trascritto il (-1)^n mentre l'ho scritto correttamente sul sito.

In questo caso di serie a segni alterni se l'espressione è strettamente decrescente e le fn sono continue nell'intervallo studiato il criterio di Leibniz asserisce che c'è convergenza uniforme della serie ossia le$ fn=>0$ purtroppo ce l'avevo sotto al naso e non me ne sono accorto fino a questa mattina quando ho riaperto gli appunti

bye