[RISOLTO]dubbio potenziale forme differenziali lineari
Buonasera, svolgendo un esercizio sulla ricerca di un potenziale di forme diff lineari mi è venuto un dubbio stupido, ma vorrei che capissi bene.
Allora, sono in questa situzione: ho una forma diff lineare $Adx + Bdy$ definita nell'unione di due insiemi semplicemente connessi $ A1 uu A2 $ tali che:
$A1 = {(x,y) in R^2: x>0} ^^
A2 = {(x,y) in R^2: x<0}$
trovo il potenziale: $ phi = x+ln(x)+c $
dati gli insiemi $A1$ e $A2$ si ha: $ phi = x+ln(x)+c $ in $A1$, mentre in $A2$ si ha : $ phi = x+ln(-x)+c $.
Il mio dubbio è: la $x$ rimane da entrambe le parti $x$, non le cambio il segno in A2 vero?(Ovviamente nel logaritmo lo cambio perchè altrimenti in A2 non sarebbe definito)- La domanda è banale, ma sotto esami vengono in mente le domande più assurde.
Grazie mille!
Allora, sono in questa situzione: ho una forma diff lineare $Adx + Bdy$ definita nell'unione di due insiemi semplicemente connessi $ A1 uu A2 $ tali che:
$A1 = {(x,y) in R^2: x>0} ^^
A2 = {(x,y) in R^2: x<0}$
trovo il potenziale: $ phi = x+ln(x)+c $
dati gli insiemi $A1$ e $A2$ si ha: $ phi = x+ln(x)+c $ in $A1$, mentre in $A2$ si ha : $ phi = x+ln(-x)+c $.
Il mio dubbio è: la $x$ rimane da entrambe le parti $x$, non le cambio il segno in A2 vero?(Ovviamente nel logaritmo lo cambio perchè altrimenti in A2 non sarebbe definito)- La domanda è banale, ma sotto esami vengono in mente le domande più assurde.
Grazie mille!
Risposte
Beh, ti basta scrivere $ phi = x+ln(|x|)+c $ ed hai risolto... in $A2$ la x è negativa per definizione, ma con il modulo non te ne preoccupi 
Ovviamente, il logaritmo non è problema, la mia domanda era se allla $ x $, quella fuori dal logaritmo, bisognava cambiare il segno in A2, ma da come mi hai risposto, direi di No!
Guarda, la traccia di questo esercizio non mi convince, quindi ti chiedo qualche chiarimento prima di continuare.
Innanzitutto, non ho capito come sia fatta la forma differenziale. $A$ e $B$ cosa sono? Costanti? Funzioni della sola x? O, come di solito accade, funzioni di x ed y? Sai, se fossero costanti (come sembrerebbe) sarebbe un po' banale...
Secondo, il tuo potenziale è una funzione della sola x, e non vedo come possa uscirti da una forma differenziale con un $dy$. Quindi non so, fammi vedere come lo hai calcolato e vediamo che si può dire.
Comunque, in generale se hai trovato un potenziale e vuoi verificare che sia giusto ti basta trovarne il dominio e poi derivarlo rispetto alle due variabili per vedere se ottieni le due funzioni che compongono la forma differenziale.
Innanzitutto, non ho capito come sia fatta la forma differenziale. $A$ e $B$ cosa sono? Costanti? Funzioni della sola x? O, come di solito accade, funzioni di x ed y? Sai, se fossero costanti (come sembrerebbe) sarebbe un po' banale...
Secondo, il tuo potenziale è una funzione della sola x, e non vedo come possa uscirti da una forma differenziale con un $dy$. Quindi non so, fammi vedere come lo hai calcolato e vediamo che si può dire.
Comunque, in generale se hai trovato un potenziale e vuoi verificare che sia giusto ti basta trovarne il dominio e poi derivarlo rispetto alle due variabili per vedere se ottieni le due funzioni che compongono la forma differenziale.
Mi sono spiegato male. Questo non è un esercizio. A e B negli esercizi sono funzioni di x e y. Il potenziale che ho messo è fasullo, l'ho scritto solo per sottolineare il fatto che a seconda dell'insieme A1 o A2 l'argomento del logaritmo deve cambiare di segno (oppure metto |x|), mentre mi è venuto il dubbio per la x che si addiziona al logaritmo, va lasciata x in entrambi gli insiemi?
si
Grazie mille!! 
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