[RISOLTO]Chiarimento dimostrazione "Criterio di Weierstrass"
Buongiorno a tutti, in preparazione all'esame orale di Analisi II, mi sono imbattuto nel Criterio di Weierstrass per la convergenza, ma c'è un punto della dimostrazione che non mi convince del tutto.
Tralasciando l'intero enunciato, ma considerando solamente questa condizione:
[...] $\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|$ $<=$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$, con $f_n(x)$ serie di funzioni e $a_n$ serie numerica,
nella dimostrazione per la parte relativa all'uniforme convergenza, si procede così: posto
$\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|= S(x)$ e $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sigma$, si ottiene che
$|S_n(x) - S(x)| = |f_(n+1)+f_(n+2)+...+f_(n+p)| <= |f_(n+1)|+|f_(n+2)|+...+|f_(n+p)|<=a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)$
$<=|\sigma_n-\sigma|$.
E a questo punto continua, dimostrando l'uniforme convergenza di $\sigma$, indipendentemente da $x$.
Però il mio problema è nel primo termine della diseguaglianza precedente, ovvero:
$|S_n(x) - S(x)| = |f_(n+1)+f_(n+2)+...+f_(n+p)|$.
Se $S_n(x)$ è la somma parziale n-esima della serie ed avendo posto $\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|= S(x)$, secondo me per ottenere $|f_(n+1)+f_(n+2)+...+f_(n+p)|$, dovrebbe essere:
$|S(x)-S_n(x)|$ e non invece $|S_n(x)-S(x)|$; analogo discorso per:
$|\sigma_n-\sigma|$.
Perdonatemi se vi ho fatto perdere tempo, magari per una futilità, ma non mi torna!
Grazie a tutti
Tralasciando l'intero enunciato, ma considerando solamente questa condizione:
[...] $\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|$ $<=$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$, con $f_n(x)$ serie di funzioni e $a_n$ serie numerica,
nella dimostrazione per la parte relativa all'uniforme convergenza, si procede così: posto
$\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|= S(x)$ e $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sigma$, si ottiene che
$|S_n(x) - S(x)| = |f_(n+1)+f_(n+2)+...+f_(n+p)| <= |f_(n+1)|+|f_(n+2)|+...+|f_(n+p)|<=a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(n+p)$
$<=|\sigma_n-\sigma|$.
E a questo punto continua, dimostrando l'uniforme convergenza di $\sigma$, indipendentemente da $x$.
Però il mio problema è nel primo termine della diseguaglianza precedente, ovvero:
$|S_n(x) - S(x)| = |f_(n+1)+f_(n+2)+...+f_(n+p)|$.
Se $S_n(x)$ è la somma parziale n-esima della serie ed avendo posto $\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|= S(x)$, secondo me per ottenere $|f_(n+1)+f_(n+2)+...+f_(n+p)|$, dovrebbe essere:
$|S(x)-S_n(x)|$ e non invece $|S_n(x)-S(x)|$; analogo discorso per:
$|\sigma_n-\sigma|$.
Perdonatemi se vi ho fatto perdere tempo, magari per una futilità, ma non mi torna!
Grazie a tutti
Risposte
Ma $|S(x) - S_n (x) | = | S_n (x) - S(x) |$, se ho capito bene il tuo dubbio...
Sì hai capito bene, ma perchè è così? 
Forse per il modulo? D'altra parte sottrarre n termini a infiniti termini e sottrarre infiniti termini da n termini non dovrebbe essere diverso?
Forse per il modulo? D'altra parte sottrarre n termini a infiniti termini e sottrarre infiniti termini da n termini non dovrebbe essere diverso?
Il valore assoluto gode di questa proprietà: $|f(x)| = | - f(x)|$. Nel tuo caso $f(x) = S_n(x) - S(x)$.
Impeccabile come sempre, grazie Seneca 
Occhio, però, che c'è comunque un errore di stampa: infatti:
\[
|S_n(x)-S(x)|=|f_{n+1} (x)+f_{n+2} (x)+\cdots |\neq |f_{n+1} (x)+f_{n+2} (x)+\cdots +f_{n+p} (x)|=|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\; .
\]
\[
|S_n(x)-S(x)|=|f_{n+1} (x)+f_{n+2} (x)+\cdots |\neq |f_{n+1} (x)+f_{n+2} (x)+\cdots +f_{n+p} (x)|=|S_{n+p}(x)-S_n(x)|\; .
\]
E anche tu hai ragione, infatti è |$S_m(x) -S_n(x)|, m=n+p$.
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