[RISOLTO] Svolgo il calcolo di un integrale: esistono altri modi per risolverlo?

[alessandromagno08]

Ciao,

esistono altri modi per calcolare $\int_{0}^{2}ke^(-kx) dx$ rispetto al seguente?

1) intanto porto fuori la costante $k$: $\int_{0}^{2}ke^(-kx) dx$ = $k \int_{0}^{2}e^(-kx) dx$
2) imposto $u=-kx$ (come si chiama questo procedimento? Per sostituzione?)
3) $du=(-kx)'dx=-kdx$
4) quindi $dx=-(du)/k$
5) allora $k \int_{0}^{2}e^(-kx) dx$ = $k \int_{0}^{2}-(e^(u))/k du$
6) porto fuori $-1/k$, quindi ora ho $-\int_{0}^{2}(e^(u))du$
7) non so se ci sono passaggi intermedi, ma io farei $-[e^(-kx)]_0^2 = -(e^(-2k)-1) = 1-e^(-2k)$
8) fine

Fatemi sapere se va bene, se ci sono forzature o se è meglio aggiungere qualche altro passaggio, grazie!

[pilloeffe]

Ciao alessandromagno08,

"alessandromagno08":Fatemi sapere se va bene

No, non va bene, anche se poi il risultato finale che hai ottenuto è corretto... Se si pone $u := - kx \implies \text{d}u = - k \text{d}x $, gli estremi di integrazione cambiano: infatti per $x = 0 \implies u = 0$, ma per $x = 2 \implies u = - 2k$. Dunque si ha:

$ k \int_{0}^{2} e^(-kx) dx = k \int_{0}^{- 2k} e^u/(-k) \text{d}u = - \int_{0}^{- 2k} e^u \text{d}u = \int_{- 2k}^{0} e^u \text{d}u = [e^u]_{- 2k}^{0} = 1 - e^{- 2k} $

Per risolverlo più semplicemente osserverei che si ha:

$D[e^{f(x)} + c] = f'(x) e^{f(x)} $

Pertanto si ha:

$\int f'(x) e^{f(x)} \text{d}x = e^{f(x)} + c $

Nel caso in esame $f(x) = - kx \implies f'(x) = - k $, pertanto si ha:

$\int k e^{- kx} \text{d}x = - e^{- kx} + c $

Dunque semplicemente si ha:

$\int_0^2 k e^{- kx} \text{d}x = [- e^{- kx}]_0^2 = - e^{- 2k} + 1 = 1 - e^{- 2k} $

[alessandromagno08]

"pilloeffe":No, non va bene...

Grazie pilloeffe!