[Risolto] Serie Geometrica Limitata

[volm92]

Buongiorno, vorrei dei chiarimenti su una serie geometrica limitata particolare, molto usata nell'analisi di Fourier, soprattutto tempo discreto.

Assumiamo j unità immaginaria.
Vorrei capire perché posso dire che questa serie converge. Come faccio a convincermi che la ragione è in modulo minore di uno?

\[
\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}=\frac{1-e^{-j \omega N}}{1-e^{-j \omega}}
\]

Grazie mille!

[pilloeffe]

Buongiorno volm92,

Quella che hai scritto non è una serie, ma una somma, per cui non ha senso parlare di convergenza...
Il modulo della ragione della somma che hai scritto è $1 $, infatti si ha:

$ |e^{-j\omega}| = |frac{1}{e^{j\omega}}| = frac{1}{cos^2 \omega + sin^2 \omega} = 1 $

[volm92]

E quell'uguaglianza da dove deriva?
Grazie della celere risposta

[pilloeffe]

"volm92":Grazie della celere risposta

Prego
Mah, direi dal fatto che in generale si ha:

$sum_{n = 0}^{N - 1} x^n = frac{1 - x^N}{1 - x} $

Poni $x := e^{-j\omega} $ ed è fatta...

[volm92]

"pilloeffe":[quote="volm92"]Grazie della celere risposta

Prego
Mah, direi dal fatto che in generale si ha:

$ sum_{n = 0}^{N - 1} x^n = frac{1 - x^N}{1 - x} $

Poni $ x := e^{-j\omega} $ ed è fatta... [/quote]

Ahhhh ok, quindi per quella formula non c'è bisogno che la ragione sia minore di 1!

Ok, grazie mille!