[RISOLTO] Risultati contrastanti per limite in due variabili
Ciao a tutti!
Questo è il mio primo messaggio in questo forum, se faccio errori vi prego di segnalarmeli.
Ho il seguente problema: devo scoprire se la funzione
$ f(x)={ ( (xy^3)/(x^2+y^6)" "se (x,y)!=(0,0)),( 0 " "se (x,y)=(0,0)):} $
è continua nel punto $ (0,0) $. Ho provato a calcolare il limite della funzione all'origine attraverso il percorso $ x=my^3 $, da cui ho ottenuto
$ lim_(y -> 0) (my^3*y^3)/(m^2y^6+y^6)=lim_(y -> 0) (my^6)/((m^2+1)y^6)=lim_(y -> 0)(m)/(m^2+1)=(m)/(m^2+1) $
Ho concluso che il limite, essendo dipendente dal "percorso" lungo il quale lo si calcola, non esiste e quindi la funzione non è continua.
Tuttavia facendo calcolare il limite a Wolfram Alpha si ottiene che il limite fa 0, risultato che ottengo anche calcolando il limite utilizzando le coordinate polari. Sono io che sbaglio nel calcolo attraverso quel percorso, o è un errore di Wolfram Alpha?
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà!
Questo è il mio primo messaggio in questo forum, se faccio errori vi prego di segnalarmeli.
Ho il seguente problema: devo scoprire se la funzione
$ f(x)={ ( (xy^3)/(x^2+y^6)" "se (x,y)!=(0,0)),( 0 " "se (x,y)=(0,0)):} $
è continua nel punto $ (0,0) $. Ho provato a calcolare il limite della funzione all'origine attraverso il percorso $ x=my^3 $, da cui ho ottenuto
$ lim_(y -> 0) (my^3*y^3)/(m^2y^6+y^6)=lim_(y -> 0) (my^6)/((m^2+1)y^6)=lim_(y -> 0)(m)/(m^2+1)=(m)/(m^2+1) $
Ho concluso che il limite, essendo dipendente dal "percorso" lungo il quale lo si calcola, non esiste e quindi la funzione non è continua.
Tuttavia facendo calcolare il limite a Wolfram Alpha si ottiene che il limite fa 0, risultato che ottengo anche calcolando il limite utilizzando le coordinate polari. Sono io che sbaglio nel calcolo attraverso quel percorso, o è un errore di Wolfram Alpha?
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà!
Risposte
Mi pare giusto, non è continua. Posta cosa hai scritto su wolfram alpha e il calcolo che hai fatto in coordinate polari
"Vulplasir":
Posta cosa hai scritto su wolfram alpha...
Su wolfram alpha ho scritto "lim (xy^3)/(x^2+y^6) x->0, y->0". Mi visualizza esattamente l'input e mi risponde con Result: 0.
"Vulplasir":
... e il calcolo che hai fatto in coordinate polari
$ lim_(rho -> 0)(rhocos theta*rho^3sin^3theta)/(rho^2cos^2theta+rho^6sin^6theta)= lim_(rho -> 0)(rho^2cos thetasin^3theta)/(cos^2theta+rho^4sin^6theta)=0 $
In quanto il numeratore tende a 0, mentre il denominatore tende a $ cos^2theta $. Se il coseno a denominatore si annulla per qualche $ theta $, si annulla anche quello al numeratore e il limite tende comunque a zero avendo numeratore nullo.
si ma il calcolo in coordinate polari non dimostra niente, ti dice solo che c'è qualche percorso lungo il quale il limite è nullo...
Per dimostrare la continuità dovresti risolvere il limite uniformemente rispetto a $\rho$ ovvero maggiorare quel limite con qualcosa che dipenda solo da $\rho$ , e in questo caso non puoi a causa del denominatore.
Per quanto riguarda Wolfram Alpha , beh è una stupida macchina alla fine, direi che si sbaglia di grosso.
Per dimostrare la continuità dovresti risolvere il limite uniformemente rispetto a $\rho$ ovvero maggiorare quel limite con qualcosa che dipenda solo da $\rho$ , e in questo caso non puoi a causa del denominatore.
Per quanto riguarda Wolfram Alpha , beh è una stupida macchina alla fine, direi che si sbaglia di grosso.
Ok, grazie mille! Quello delle coordinate polari era solo un modo alternativo che ho usato per calcolare il limite, fosse venuto un risultato diverso avrei direttamente concluso da solo che wolfram alpha si sbagliava. Ora scrivo agli sviluppatori, speriamo di vincere una maglietta 
Grazie ancora!
Grazie ancora!
ahhahahahahahha !!!! 
Occhio che come ti è stato detto il modo in cui applichi il limite in coordinate polari non ti dice nulla sul limite, se hai sempre fatto così allora hai sbagliato
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