[Risolto] - Risoluzione integrale con metodo della sostituzione
Buongiorno ragazz*,
ho questo esercizio, che devo risolvere tramite il metodo della sostituzione :
$ int xsqrt(2x+3) dx $ ed il risultato deve essere (secondo il manuale) : $ 1/5 sqrt(2x+3)(2x^2 + x - 3) + c $ ;
ho provato a risolvere in questo modo :
ponendo $ t = 2x + 3 $ , avremo che $ x = (t - 3 )/ 2 $ e $dt = 2dx$ , moltiplicando e dividendo l'integrale per $2$ avrò :
$ 1/2 int 2sqrt(2x+3)dx $ e quindi sostituendo avrò :
$ 1/2 int (t-3)/2 sqrt(t)dt $ , poi :
$ 1/4 int (t-3)sqrt(t)dt = 1/4 inttsqrttdt - 3/4int sqrttdt $ , che svolgendo gli integrali sarà :
il primo $ 1/4 inttsqrttdt = 1/4*2/5 * t^(5/2) + c = 1/10t^(5/2) + c$ ed il secondo $ - 3/4int sqrttdt = -3/4*2/3 t^(3/2) = -1/2t^(3/2) + c $ ;
quindi il risultato finale è : $ 1/10t^(5/2) -1/2t^(3/2) + c $.
Mi dite dove ho sbagliato?
Grazie in anticipo , come sempre.
ho questo esercizio, che devo risolvere tramite il metodo della sostituzione :
$ int xsqrt(2x+3) dx $ ed il risultato deve essere (secondo il manuale) : $ 1/5 sqrt(2x+3)(2x^2 + x - 3) + c $ ;
ho provato a risolvere in questo modo :
ponendo $ t = 2x + 3 $ , avremo che $ x = (t - 3 )/ 2 $ e $dt = 2dx$ , moltiplicando e dividendo l'integrale per $2$ avrò :
$ 1/2 int 2sqrt(2x+3)dx $ e quindi sostituendo avrò :
$ 1/2 int (t-3)/2 sqrt(t)dt $ , poi :
$ 1/4 int (t-3)sqrt(t)dt = 1/4 inttsqrttdt - 3/4int sqrttdt $ , che svolgendo gli integrali sarà :
il primo $ 1/4 inttsqrttdt = 1/4*2/5 * t^(5/2) + c = 1/10t^(5/2) + c$ ed il secondo $ - 3/4int sqrttdt = -3/4*2/3 t^(3/2) = -1/2t^(3/2) + c $ ;
quindi il risultato finale è : $ 1/10t^(5/2) -1/2t^(3/2) + c $.
Mi dite dove ho sbagliato?
Grazie in anticipo , come sempre.
Risposte
"Matt91":
quindi il risultato finale è : $ 1/10t^(5/2) -1/2t^(3/2) + c $.
Mi dite dove ho sbagliato?
I calcoli mi sembrano giusti - non sono un drago in questo (in genere sono io a fare errori di calcolo e non a correggerli
) - ma ce la sto mettendo tutta per controllare i calcoli altrui. Hai solo dimenticato la $x$ qui
"Matt91":
moltiplicando e dividendo l'integrale per $2$ avrò :
$ 1/2 int 2sqrt(2x+3)dx $
Ma si vede che è una svista anche perché dopo la consideri nella sostituzione.
Comunque, devi tornare a $x$, no?
Anche per me è tutto corretto. Rifacendo la sostituzione all'indietro hai
"Zero87":
Hai solo dimenticato la $ x $ qui
[quote="Matt91"]moltiplicando e dividendo l'integrale per $ 2 $ avrò :
$ 1/2 int 2sqrt(2x+3)dx $
Ma si vede che è una svista anche perché dopo la consideri nella sostituzione.
[/quote]
Sisi è stata una svista.
"Zero87":
Comunque, devi tornare a $ x $, no?
"Gi8":
Anche per me è tutto corretto. Rifacendo la sostituzione all'indietro hai
Eh ragazzi, mi sa che ho fatto un casino durante la sostituzione (infatti andavo a sostituire direttamente senza mettere in evidenza $sqrt(t)$ .
SGrazie mille ragazzi.
Il posto si può chiudere.
"Matt91":
Grazie mille ragazzi.
Meglio così che è tutto risolto. Comunque in genere non arriva nessuno a chiudere (anche perché in futuro potresti avere un esercizio uguale e continuare questo thread): magari, per dire che è tutto ok, puoi modificare il titolo iniziale aggiungendo un bel "[Risolto]" in modo da dare l'idea... poi ovviamente se riapri per qualche motivo questo thread devi ricordarti di ritogliere il "[Risolto]".
Ok allora modifico il titolo. ^_^
Grazie mille ragazzi, buona giornata!
Grazie mille ragazzi, buona giornata!
Ed infatti è meglio che non vengano chiusi.
Ho un altro problema con un altro esercizio , e sapere come porre la variabile di sostituzione $t$ nel seguente integrale :
$int ((xe^x)/(e^x -1)^2)dx$ , non ci riesco... ho provato a porla uguale ad $(e^x)-1$ oppure facendo al denominatore $+x-x$ e mettendo in evidenza la $x$ in modo da scomporre l'integrale in $int x/(e^x -1) dx - int x/(e^x -1)^2 dx$ ma niente...
Mi aiutate perfavore?
Grazie in anticipo (come sempre)!
Ho un altro problema con un altro esercizio , e sapere come porre la variabile di sostituzione $t$ nel seguente integrale :
$int ((xe^x)/(e^x -1)^2)dx$ , non ci riesco... ho provato a porla uguale ad $(e^x)-1$ oppure facendo al denominatore $+x-x$ e mettendo in evidenza la $x$ in modo da scomporre l'integrale in $int x/(e^x -1) dx - int x/(e^x -1)^2 dx$ ma niente...
Mi aiutate perfavore?
Grazie in anticipo (come sempre)!
la sostituzione potrebbe essere questa:
\[e^x=t,\quad x=\ln t,\quad dx=\frac{dt}{t}\]
da cui
\begin{align}
\int \frac{xe^x}{(e^x-1)^2}\,\,dx&=\int \frac{\ln t\cdot t}{(t-1)^2} \cdot\frac{dt}{t}=\int \frac{\ln t }{(t-1)^2} \,\,dt =\int \ \ln t \,\,d\left(-\frac{1}{t-1}\right)=-\int \ \ln t \,\,d\left(\frac{1}{t-1}\right)\\
&\stackrel{\bf(P)}{=}-\frac{ \ln t}{t-1}+\int\frac{1}{t-1}\,\,d\left( \ln t\right)=-\frac{ \ln t}{t-1}+\int\frac{1}{t(t-1)}\,\,dt=-\frac{ \ln t}{t-1}+\int\frac{A}{t }+\frac{B}{ t-1}\,\,dt\\
&=-\frac{ \ln t}{t-1}+A\ln| t|+B\ln|t-1|,\qquad A=-1,B=1\\
&=-\frac{x}{e^x-1}-\ln| e^x|+ \ln|e^x-1|=-\frac{x}{e^x-1}-x+\ln|e^x-1|= \frac{xe^x }{1-e^x}+\ln|e^x-1|+c
\end{align}
\[e^x=t,\quad x=\ln t,\quad dx=\frac{dt}{t}\]
da cui
\begin{align}
\int \frac{xe^x}{(e^x-1)^2}\,\,dx&=\int \frac{\ln t\cdot t}{(t-1)^2} \cdot\frac{dt}{t}=\int \frac{\ln t }{(t-1)^2} \,\,dt =\int \ \ln t \,\,d\left(-\frac{1}{t-1}\right)=-\int \ \ln t \,\,d\left(\frac{1}{t-1}\right)\\
&\stackrel{\bf(P)}{=}-\frac{ \ln t}{t-1}+\int\frac{1}{t-1}\,\,d\left( \ln t\right)=-\frac{ \ln t}{t-1}+\int\frac{1}{t(t-1)}\,\,dt=-\frac{ \ln t}{t-1}+\int\frac{A}{t }+\frac{B}{ t-1}\,\,dt\\
&=-\frac{ \ln t}{t-1}+A\ln| t|+B\ln|t-1|,\qquad A=-1,B=1\\
&=-\frac{x}{e^x-1}-\ln| e^x|+ \ln|e^x-1|=-\frac{x}{e^x-1}-x+\ln|e^x-1|= \frac{xe^x }{1-e^x}+\ln|e^x-1|+c
\end{align}
Wow! Non mi aspettavo una risposta così articolata! Grazie mille Noise!
La verità : non sapevo come giocare con il logaritmo nell'integrale, però la $f(x)*f'(x)$ non mi era proprio venuta in mente...
Grazie ancora!
La verità : non sapevo come giocare con il logaritmo nell'integrale, però la $f(x)*f'(x)$ non mi era proprio venuta in mente...
Grazie ancora!
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