[Risolto] Radici complesse.
Salve devo svolgere un esercizio sui numeri complessi ma forse non mi è chiaro il modo per svolgerlo. L'esercizio è:
$ z^4 + (1-2i) * z^2 -2i = 0 $
Pongo $ z^2 = w $
Trovo il [tex]\Delta[/tex] $ = (1-2i)^2 - 4 * [(1) * (-21) ] = -3+4i = (1-2i)^2 $
Ora non so come andare avanti per trovare le radici. So che per il teorema fondamentale dell'algebra questa equazione ha 4 soluzioni.
Potrei usare:
[tex]a = \rho \cos (\Theta)[/tex]
[tex]b = \rho \sin (\Theta)[/tex]
Dove:
[tex]\rho = \sqrt{a^{2} + b^{2} }[/tex]
[tex]\arctan (b/a) \>\> se \>\> a > 0 , \>\>\> oppure\>\>\> \arctan (b/a) + \pi \>\> se\>\> a < 0[/tex]
Poi utilizzare la formula:
[tex]\sqrt[n]{\rho} * [ \cos(\frac{\Theta +2k\pi}{n} ) + i*\sin(\frac{\Theta + 2k\pi}{n})][/tex]
Però non riesco poichè viene:
[tex]\rho = 5 \>\> \Theta = \arctan(-4/3) + \pi[/tex]
inserendo questi dati nella formula data prima non riesco ad andare avanti. Con $ k = 0,1,2,3 $
Così ho provato un altro metodo:
Ho : $ (1-2i)^2 $
Trovo:
[tex]w1 = \frac{-1-2i + 1-2i}{2} \longrightarrow -2i[/tex]
[tex]w2 = \frac{-1-2i -1+2i}{2} \longrightarrow -i[/tex]
Quindi trovo:
[tex]z1 = \sqrt{a^{2} + b^{2} } = \sqrt{2}[/tex]
Ora vorrei usare la forma esponenziale con [tex]e^{qualcosa}[/tex] ma non so cosa metterci in quel "qualcosa".
Dovrebbe essere: [tex]e^{\frac{-i\pi}{4}}[/tex] (se non si legge è: e ^( (-i pi)/(4) ) con Pi = pi greco.)
Non riesco a capire come fa ad arrivarci.
Grazie delle eventuali risposte.
$ z^4 + (1-2i) * z^2 -2i = 0 $
Pongo $ z^2 = w $
Trovo il [tex]\Delta[/tex] $ = (1-2i)^2 - 4 * [(1) * (-21) ] = -3+4i = (1-2i)^2 $
Ora non so come andare avanti per trovare le radici. So che per il teorema fondamentale dell'algebra questa equazione ha 4 soluzioni.
Potrei usare:
[tex]a = \rho \cos (\Theta)[/tex]
[tex]b = \rho \sin (\Theta)[/tex]
Dove:
[tex]\rho = \sqrt{a^{2} + b^{2} }[/tex]
[tex]\arctan (b/a) \>\> se \>\> a > 0 , \>\>\> oppure\>\>\> \arctan (b/a) + \pi \>\> se\>\> a < 0[/tex]
Poi utilizzare la formula:
[tex]\sqrt[n]{\rho} * [ \cos(\frac{\Theta +2k\pi}{n} ) + i*\sin(\frac{\Theta + 2k\pi}{n})][/tex]
Però non riesco poichè viene:
[tex]\rho = 5 \>\> \Theta = \arctan(-4/3) + \pi[/tex]
inserendo questi dati nella formula data prima non riesco ad andare avanti. Con $ k = 0,1,2,3 $
Così ho provato un altro metodo:
Ho : $ (1-2i)^2 $
Trovo:
[tex]w1 = \frac{-1-2i + 1-2i}{2} \longrightarrow -2i[/tex]
[tex]w2 = \frac{-1-2i -1+2i}{2} \longrightarrow -i[/tex]
Quindi trovo:
[tex]z1 = \sqrt{a^{2} + b^{2} } = \sqrt{2}[/tex]
Ora vorrei usare la forma esponenziale con [tex]e^{qualcosa}[/tex] ma non so cosa metterci in quel "qualcosa".
Dovrebbe essere: [tex]e^{\frac{-i\pi}{4}}[/tex] (se non si legge è: e ^( (-i pi)/(4) ) con Pi = pi greco.)
Non riesco a capire come fa ad arrivarci.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Ciao!
Allora io porrei $ x=z^2 $ e quindi puoi riscrivere l'equazione come $ x^2+x(1-2i)-2i=0 $. A questo punto trovi le due radici, che sono: $ z^2=2i $ e $ z^2=-1 $. Ovvero:
$ z=-1-i $, $ z=1+i $, $ z=-i $, $ z=+i $.
Allora io porrei $ x=z^2 $ e quindi puoi riscrivere l'equazione come $ x^2+x(1-2i)-2i=0 $. A questo punto trovi le due radici, che sono: $ z^2=2i $ e $ z^2=-1 $. Ovvero:
$ z=-1-i $, $ z=1+i $, $ z=-i $, $ z=+i $.
Ciao, grazie della risposta.
Puoi spiegarmi in dettaglio come trovi le due radici e quindi le 4 soluzioni?
Il mio dubbio è che forse non ho capito come si trovano.
Grazie ancora.
Puoi spiegarmi in dettaglio come trovi le due radici e quindi le 4 soluzioni?
Il mio dubbio è che forse non ho capito come si trovano.
Grazie ancora.
Risolvi semplicemente l'equazione di secondo grado ($ X_1,2 $). Non riesco a capire dove non capisci: chiedimi pure!
Quando risolvo l'equazione di secondo grado mi trovo di fronte a:
[tex]\frac{-1+2i \pm \sqrt{-3+4i}}{2}[/tex]
Non so come risolvere:
[tex]\sqrt{-3+4i}[/tex]
Trovo il punto $(-3,4) $ nel piano e traccio il segmento che lo collega con l'origine. Si trova nel $II$ quadrante.
Anche se volessi trasformarlo in forma trigonometrica non riesco perchè [tex]\Theta[/tex] mi viene:
[tex]\arctan{(-4/3)} - \pi[/tex] che non corrisponde a nessun angolo noto.
Invece [tex]\rho[/tex] è:
[tex]\rho = \sqrt{(-3)^{2} + (4)^{2} } = \sqrt{25} = 5[/tex]
Scusa se faccio delle domande banali per te ma non riesco a individuare un metodo di calcolo.
Grazie della disponibilità.
[tex]\frac{-1+2i \pm \sqrt{-3+4i}}{2}[/tex]
Non so come risolvere:
[tex]\sqrt{-3+4i}[/tex]
Trovo il punto $(-3,4) $ nel piano e traccio il segmento che lo collega con l'origine. Si trova nel $II$ quadrante.
Anche se volessi trasformarlo in forma trigonometrica non riesco perchè [tex]\Theta[/tex] mi viene:
[tex]\arctan{(-4/3)} - \pi[/tex] che non corrisponde a nessun angolo noto.
Invece [tex]\rho[/tex] è:
[tex]\rho = \sqrt{(-3)^{2} + (4)^{2} } = \sqrt{25} = 5[/tex]
Scusa se faccio delle domande banali per te ma non riesco a individuare un metodo di calcolo.
Grazie della disponibilità.
Risolto.
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