[RISOLTO] Proprietà di produttoria, logaritmo ed esponenziale
Ciao,
vorrei un approfondimento sulle proprietà della produttoria.
Con $\gamma$ e $\beta$ costanti
devo partire da qui:
$\prod_{i=1}^10 {\gamma*\beta^(-\gamma)*y_i^(\gamma-1)*exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$
e arrivare qui:
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*exp{(gamma-1) \sum_{i=1}^10 log y_i - \sum_{i=1}^10 (y_i/beta)^\gamma}$
Primo passaggio:
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1)*\prod_{i=1}^10 exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$
Secondo passaggio (l'esponenziale di un logaritmo di x = x; il prodotto di esponenziali di qualcosa = l'esponenziale della sommatoria di quei qualcosa):
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)* exp[log (\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1))]* exp[- \sum_{i=1}^10 (y_i/\beta)^\gamma]$
Terzo passaggio (log di x con esponente = valore esponente per log di x; log della produttoria delle y = sommatoria dei log delle y; prodotto di esponenti di qualcosa = esponente della somma di quei qualcosa):
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)* exp{(gamma-1) \sum_{i=1}^10 log (y_i)-\sum_{i=1}^10 (y_i/\beta)^\gamma]$
Sono giusti i passaggi e le proprietà che ho utilizzato? Grazie!
vorrei un approfondimento sulle proprietà della produttoria.
Con $\gamma$ e $\beta$ costanti
devo partire da qui:
$\prod_{i=1}^10 {\gamma*\beta^(-\gamma)*y_i^(\gamma-1)*exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$
e arrivare qui:
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*exp{(gamma-1) \sum_{i=1}^10 log y_i - \sum_{i=1}^10 (y_i/beta)^\gamma}$
Primo passaggio:
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1)*\prod_{i=1}^10 exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$
Secondo passaggio (l'esponenziale di un logaritmo di x = x; il prodotto di esponenziali di qualcosa = l'esponenziale della sommatoria di quei qualcosa):
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)* exp[log (\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1))]* exp[- \sum_{i=1}^10 (y_i/\beta)^\gamma]$
Terzo passaggio (log di x con esponente = valore esponente per log di x; log della produttoria delle y = sommatoria dei log delle y; prodotto di esponenti di qualcosa = esponente della somma di quei qualcosa):
$=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)* exp{(gamma-1) \sum_{i=1}^10 log (y_i)-\sum_{i=1}^10 (y_i/\beta)^\gamma]$
Sono giusti i passaggi e le proprietà che ho utilizzato? Grazie!
Risposte
Beh, sì, dai... Sono le proprietà di base di esponenziale e logaritmo.
"gugo82":
Beh, sì, dai... Sono le proprietà di base di esponenziale e logaritmo.
Grazie come sempre!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo