[Risolto] Perchè $prod_(i = 1)^(n) (1- vartheta_{i}^2)= exp(sum_(i = 1)^{n} log(1- vartheta_{i}^2))$ ?

[sigmalgebra]

Salve a tutti,

studiando mi sono imbattuta in una catena di uguaglianze\disuguaglianze che non riesco proprio a spiegarmi.
Ad un certo punto trovo scritto

$prod_(i = 1)^(n) (1- vartheta_{i}^2)= exp(sum_(i = 1)^{n} log(1- vartheta_{i}^2)) >= exp(- sum_(i = 1)^{n}vartheta_{i}^2 ) $

Qualora potesse essere rilevante ${vartheta_i}$ è una successione decrescente e le $vartheta_i \in(0,0.1)$ sono tali che
$sum_(i=1)^{oo} vartheta_i=+oo$ e $sum_(i=1)^{oo} vartheta_{i}^2=b$

Qualcuno riesce a spiegarmi il perchè?

[kobeilprofeta]

$a*b*c=e^{log(a*b*c)}=e^{log a+log b+log c}$

spero che si sia capito con questo esempio

[kobeilprofeta]

e l'ultima segue dal fatto che
$log (1+x)>1+x$ se $x$ è vicino a zero

[sigmalgebra]

Si, ho capito perfettamente. Grazie mille!
Immaginavo fosse qualcosa di non molto complesso ma mi ero comunque persa..

[kobeilprofeta]

Di niente