[RISOLTO] Lunghezza di un cammino lungo una funzione

[Spiros]

Sono davvero desolato per la vaghezza dei termini, ma non riesco a trovarne di migliori. La mia domanda credo abbia una risposta molto semplice: devo misurare la lunghezza del grafico di una funzione $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, ossia la lunghezza della curva descritta da quella funzione. Ora, dato che la funzione è una parametrizzazione della curva, in teoria dovrebbe bastare fare un integrale di linea della funzione 1, ossia: $\int_a^b f(x) \cdot f'(x) \ dx$. È corretto? Grazie in anticipo.

[pater46]

No, l'integrale curvilineo è una cosa, la lunghezza di una curva un'altra.

$ "lunghezza di f" = int_a^b \sqrt{ 1 + [f'(t)]^2 } dt $

PS: scusa per prima avevo sbagliato a scrivere. Comunque si, tecnicamente non è il valore assoluto ma la norma, che nel caso della rappresentazione:

$x = t$
$y = f(t)$

assume la suddetta forma

[Spiros]

In realtà prima ho scritto sbagliato: intendevo $\int_a^b |f'(x)| \ dx$.
Invece nella tua versione non capisco quell'1+. Come mai è necessario fare così?

EDIT: forse ho capito, anche se in modo molto intuitivo e poco rigoroso. Quando la funzione è "stazionaria" (cioè la derivata prima è nulla) la lunghezza equivale esattamente alla distanza orizzontale tra due punti; quando invece la derivata prima è non-nulla, allora a questo valore bisogna "aggiungere" la componente verticale, che è proprio data dalla norma della derivata.
Lo so che è proprio poco rigorosa come spiegazione...

EDIT2: tra l'altro, ho capito anche dove sbagliavo concettualmente: f non è una parametrizzazione della curva, ma la parametrizzazione corretta è $\alpha(t) := ( t, f(t) )^T$. Ora, la derivata prima della parametrizzazione (differenziale) sarebbe $ \alpha ' = (1, f'(t))$, la cui norma 2 è $sqrt{1 + f'(t)^2}$ e l'integrale di linea della funzione 1 con questa parametrizzazione è $\int_a^b sqrt{1+f'(t)^2} \ dt$, il che è esattamente quello che mi hai scritto tu.
Ecco, questa spiegazione è un tantino più rigorosa.
Grazie mille per l'aiuto.

[pater46]

Grande, mi fa piacere che ragionando sei arrivato al risultato. Scusa, non ho potuto rispondere prima!