[RISOLTO] Limite di una successione di reali

[giuscri]

Data la successione

$a_n = n log((n+1)/ (n^2 + 2))$

trovarne il limite per $n->+\infty$: di mio andrei di MacLaurin, i.e.

$log((n+1) / (n^2 + 2)) = log(n+1) - log(n^2 + 2) = logn + log(1+1/n) - logn^2 - log(1+ 2/n^2) =$

$= -log n + 1/n - 1/(2n^2) + o(1/n^2) - 2/n^2 \sim -logn + 1/n + 1/n^2 (-5/2)$

Allora:

$a_n \sim -nlogn + 1 - 5/(2n) \sim -nlogn -> -\infty$

Ma se volessi invece calcolarlo, sapendo solo che

$log(1+\epsilon_n) / \epsilon_n -> 1$, $n->\infty$, $\epsilon_n ->0$

potrei riuscirci? Direi di no, dato che per risolverlo ho scomodato infinitesimi d'ordine superiore al primo...

Qualche idea?

[giuscri]

Ah, che stupido..

$n*log((n+1)/(n^2 + 2)) = n * log(1 - (n^2 + 2 -n) / (n^2 + 2)) =$

$= n * {log(1 - (n^2 - n + 2)/ (n+2)) / (- (n^2 - n + 2) / (n+2)) * - (n^2 - n +2)/ (n^2 + 2)} \sim$

$\sim n * (n - n^2 - 2) / (n^2 + 2) \sim -n^3 / n^2 -> -\infty$

Mi ritiro, va'.