[risolto] $ lim_(n -> +oo) (1+1/n)^(n^2)/e^n$

[jitter1]

Dopo un relativamente lungo periodo di pace con gli infinitesimi (o infiniti) in cui credevo, alla fine, di averla vinta io, sono tornati a fregarmi

Ecco questa successione:
$ lim_(n -> +oo) (1+1/n)^(n^2)/e^n $

Essendo un semplice rapporto, avevo proceduto spensieratamente con il limite notevole ottenendo come risultato 1. E invece no!!! Wolfram dice: $e^(-1/2)$!
Ok, dopo aver visto che il mio risultato era sbagliato ho utilizzato i polinomi di Taylor con il teorema ponte e ho trovato il risultato corretto. Il problema è che, a questo punto, non so più quando posso "fidarmi" dei limiti notevoli. Non li avevo più utilizzati nei casi in cui comparivano somme e differenze di funzioni, ma questo caso mi sembrava semplice-semplice. Siccome un argomento che alcuni di voi avevano già pazientemente provato a spiegarmi, qui chiedo invece per curiosità: come avreste calcolato il limite di quella successione?

[Rigel1]

Qui, se provi a usare i limiti notevoli, ti viene una forma indeterminata del tipo \(1^{\infty}\); per questo non funziona.
Personalmente l'avrei fatto come immagino abbia infine fatto tu:
\[
a_n = \exp\left[n^2\, \log\left(1+\frac{1}{n}\right) - n\right]
= \exp\left[n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2} + o \left(\frac{1}{n^2}\right)\right) - n\right]
\to e^{-1/2}\,.
\]

[jitter1]

E' vero!
Sì, l'ho fatto così anch'io, poi, ma scrivendo "x" al posto di "n" perché non ho ancora visto gli sviluppi di Taylor riferiti alle successioni.

[gabriella127]

"jitter":
Il problema è che, a questo punto, non so più quando posso "fidarmi" dei limiti notevoli. Non li avevo più utilizzati nei casi in cui comparivano somme e differenze di funzioni... ma questo caso mi sembrava semplice-semplice...

Ciao jitter, riprendo questo tema che ricordo avevi sollevato anche in altri post. Cerco di chiarire come è secondo me la questione (se sbaglio mi corigerete...).
Il problema in questi casi non è l'uso dei limiti notevoli in sè, ma dipende dal fatto che i teoremi sui limiti, cioè 'il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti', il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti', etc. non si possono applicare nel caso delle forme indeterminate, per le forme indeterminate sono falsi in generale.
Ciò che conduce ad errore non è l'uso del limite notevole in sè, ma l'utilizzare a sproposito i teoremi.

Ti faccio l'esempio per il limite che riporti. Immagino che tu abbia fatto così usando il limite notevole e ottenendo 1:

$ lim_(x -> +oo ) ((1+1/n)^(n^2))/(e^n)= lim_(x->+oo)(((1+1/n)^n)^n)/(e^n) = (e^n)/(e^n)=1$.

be', facendo così, sostituendo il limite notevole in realtà hai fatto prima i limiti e poi il rapporto, ma non si può usare il teorema, è una forma $oo/oo$, e qui il limite del rapporto è diverso dal rapporto dei imiti.
Spero di essermi spiegata.

[jitter1]

Ciao Gabriella, che bello rivederti sul forum!
Illuminante la tua spiegazione: adesso gli infinitesimi mi fanno un baffo hehe (vedremo... )

[gabriella127]

grazie jitter, poi vedi come va e controlla seè giusto quello che ho detto, ma a me pare che la questione sia quella, però non ricordo gli esempi che avevi fatto in passato. Ciao!

[francicko]

A mio modesto parere, il limite $lim_(x->0)(((1+1/x)^(1/x))^(1/x))/(e^(1/x))=lim_(x->infty)(((1+x)^(1/x))/e)^(1/x)$, dà origine, posto in questa forma, all'indeterminazione $1^infty$, pertanto si può ipotizzare che se la quantità $((1+x)^(1/x))/e$, si può scrivere nella forma $(1+t)$, e questo $t$ tende a $0$, allora è certo che il valore del limite $lim_(x->0)(1+t)^(1/x)$, sarà un espressione del numero $e$, e dato che sviluppando secondo taylor, si ha $(1+x)^(1/x)=e-ex/2+....$, sostituendo avremo $(e-ex/2+....)/e=1-x/2$, e da qui $lim_(x->0)(1-x/2)^(1/x)=e^(-1/2)$, mi sbaglio?