[risolto] integrale improprio non parametrico: perché la asintotica è parametrica?
Per l'integrale improprio $ int_(0)^(1) log(1+sqrt(x))/(tgx) dx $:
1) io avrei posto $log(1+sqrt(x))/(tgx)$ asintotica a $x/sqrt(x)=1/sqrt(x)$; poiché l'integrale di $1/(sqrt(x))$ in (0, 1] è convergente, lo è anche quello dato
2) la dispensa invece introduce un parametro: "l'integranda è asintoticamente equivalente a $x^(1/k)/x = 1/(x^(1-1/k))$" ecc ecc.
Ora, siccome mi sembrerebbe più semplice come in (1), mi chiedo se (1) non sia sbagliato. La dispensa usa spesso questo parametro anche per molti integrali non "parametrici"; io non l'ho usato: è una questione di forma o di sostanza? Sbaglio a non usare il parametro?
Grazie davvero! (in questi giorni mi sento un po' "in debito" con voi
)
1) io avrei posto $log(1+sqrt(x))/(tgx)$ asintotica a $x/sqrt(x)=1/sqrt(x)$; poiché l'integrale di $1/(sqrt(x))$ in (0, 1] è convergente, lo è anche quello dato
2) la dispensa invece introduce un parametro: "l'integranda è asintoticamente equivalente a $x^(1/k)/x = 1/(x^(1-1/k))$" ecc ecc.
Ora, siccome mi sembrerebbe più semplice come in (1), mi chiedo se (1) non sia sbagliato. La dispensa usa spesso questo parametro anche per molti integrali non "parametrici"; io non l'ho usato: è una questione di forma o di sostanza? Sbaglio a non usare il parametro?
Grazie davvero! (in questi giorni mi sento un po' "in debito" con voi
)
Risposte
semplicemente perchè, per qualsiasi esponente $1/k>0$ (in questo caso specifico $1/2$) l'integrale risulta convergente nell'intervallo considerato.
infatti, detto $int 1/(x^(\alpha))dx $, $\alpha ∈ ℝ$
risulta convergente in un intorno di $0$ per ogni $\alpha < 1$
in altre parole la dispensa riporta la casistica "generale", in cui ricade il caso specifico.
oss. $ log(1+sqrt(x))/(tgx) ~ sqrt(x)/x$ per $x->0$, occhio
infatti, detto $int 1/(x^(\alpha))dx $, $\alpha ∈ ℝ$
risulta convergente in un intorno di $0$ per ogni $\alpha < 1$
in altre parole la dispensa riporta la casistica "generale", in cui ricade il caso specifico.
oss. $ log(1+sqrt(x))/(tgx) ~ sqrt(x)/x$ per $x->0$, occhio
Ah, bene, grazie Suv!
prego 
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