[RISOLTO] Il termine noto della ODE e' una soluzione dell'om. associata
Voglio trovare la soluzione generale di
\[y^{(4)} + 8 y' + 6 e^{-2x} = 0 \tag{\(\star\)}\]
Tipicamente, lo strumento che conosco e': trova la fisionomia dello spazio delle soluzioni dell'omogenea associata, poi trova una soluzione particolare; allora qualsiasi soluzione di \((\star)\) la puoi ottenere come somma della particolare piu' una qualche sol. dell'omogenea.
Si trova immediatamente che le soluzioni di \((\star_H)\) sono tutte del tipo
\[y_H(x) = c_1 + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x} + c_4 x^2 e^{-2x}\]
Ora ... succede una cosa strana:
\[\mathcal{L}(y) = -6 e^{-2x} \in \ker{\mathcal{L}}\]
(con \(\mathcal{L}\) un operatore differenziale lineare).
Allora dato che il \(\ker\) e' uno spazio vettoriale, dunque chiuso rispetto alle combinazioni lineari, dev'essere anche \(y \in \ker{\mathcal{L}}\).
Quindi \(y\) sara' anche lei una soluzione del tipo
\[c_1 + c_2 e^{-2x} + \ldots\]
Il ragionamento non sta molto in piedi; ma se fosse corretto, come determino le costanti?...
\[y^{(4)} + 8 y' + 6 e^{-2x} = 0 \tag{\(\star\)}\]
Tipicamente, lo strumento che conosco e': trova la fisionomia dello spazio delle soluzioni dell'omogenea associata, poi trova una soluzione particolare; allora qualsiasi soluzione di \((\star)\) la puoi ottenere come somma della particolare piu' una qualche sol. dell'omogenea.
Si trova immediatamente che le soluzioni di \((\star_H)\) sono tutte del tipo
\[y_H(x) = c_1 + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x} + c_4 x^2 e^{-2x}\]
Ora ... succede una cosa strana:
\[\mathcal{L}(y) = -6 e^{-2x} \in \ker{\mathcal{L}}\]
(con \(\mathcal{L}\) un operatore differenziale lineare).
Allora dato che il \(\ker\) e' uno spazio vettoriale, dunque chiuso rispetto alle combinazioni lineari, dev'essere anche \(y \in \ker{\mathcal{L}}\).
Quindi \(y\) sara' anche lei una soluzione del tipo
\[c_1 + c_2 e^{-2x} + \ldots\]
Il ragionamento non sta molto in piedi; ma se fosse corretto, come determino le costanti?...
Risposte
L'equazione caratteristica associata alla EDO è \(\lambda^4+8\lambda=0\), ossia \(\lambda\ (\lambda^3 + 8)=0\), cioé:
\[
\lambda\ (\lambda + 2)\ (\lambda^2 -2\lambda + 4)=0
\]
sicché i valori caratteristici sono \(\lambda=0,-2, 1\pm \imath\ \sqrt{3}\).
Conseguentemente, l'integrale generale della EDO è:
\[
y(x;c_1,c_2,c_3,c_4) = c_1 + c_2\ e^{-2x} + c_3\ e^x\ \cos (\sqrt{3}\ x) + c_4\ e^x\ \sin (\sqrt{3}\ x)\; ,
\]
e non quello che hai indicato sopra.
Ad ogni modo, il termine noto \(b(x):=-6\ e^{-2x}\) è sempre nel nucleo dell'operatore differenziale, dunque il problema rimane.
Per ovviare, o usi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, oppure ti ricordi la regola che segue:
Nel caso in esame, dato che il termine noto è di tipo "buono" (con \(\alpha =-2\), \(\beta =0\), \(n=0\)) e che il numero complesso individuato dal termine noto \(\alpha +\imath\ \beta = -2+\imath\ 0=-2\) è soluzione dell'equazione caratteristica con molteplicità \(\mu =1\), l'integrale particolare della EDO completa lo puoi cercare nella forma:
\[
x\ P_0(x)\ e^{-2x},
\]
ove \(P_0\) è un polinomio di grado \(0\), quindi si riduce ad una costante.
Facendo i conti trovi che una funzione del tipo \(Ax\ e^{-2x}\) è soluzione della EDO completa se e solo se accade:
\[
-24A\ e^{-2 x} = -6\ e^{-2 x}\; ,
\]
cioé solo se \(A=1/4\).
Perciò la tua soluzione particolare è:
\[
\bar{y}(x) = \frac{1}{4}\ x\ e^{-2x}\; .
\]
\[
\lambda\ (\lambda + 2)\ (\lambda^2 -2\lambda + 4)=0
\]
sicché i valori caratteristici sono \(\lambda=0,-2, 1\pm \imath\ \sqrt{3}\).
Conseguentemente, l'integrale generale della EDO è:
\[
y(x;c_1,c_2,c_3,c_4) = c_1 + c_2\ e^{-2x} + c_3\ e^x\ \cos (\sqrt{3}\ x) + c_4\ e^x\ \sin (\sqrt{3}\ x)\; ,
\]
e non quello che hai indicato sopra.
Ad ogni modo, il termine noto \(b(x):=-6\ e^{-2x}\) è sempre nel nucleo dell'operatore differenziale, dunque il problema rimane.
Per ovviare, o usi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, oppure ti ricordi la regola che segue:
Quando il termine noto è del tipo "buono":
\[
e^{\alpha x}\ (p_n(x)\ \cos \beta x + q_n(x)\ \sin \beta x)
\]
(con \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) e \(p_n,q_m\) polinomi reali di grado \(n\) ed \(m\)) ed il numero complesso ad esso associato, i.e. \(\alpha +\imath\ \beta\), è soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, allora la soluzione particolare va cercata nella forma:
\[
e^{\alpha x}\ x^\mu\ (P_\nu(x)\ \cos \beta x + Q_\nu(x)\ \sin \beta x)
\]
in cui \(\mu\) è la molteplicità di \(\alpha +\imath\ \beta\) come radice dell'equazione caratteristica e \(P_\nu,Q_\nu\) sono polinomi incogniti (quindi, coi coefficienti da determinare) di grado \(\nu\) uguale al massimo tra i gradi di \(p_n\) e \(q_m\) (i.e. \(\nu = \max \{n,m\}\)).
Nel caso in esame, dato che il termine noto è di tipo "buono" (con \(\alpha =-2\), \(\beta =0\), \(n=0\)) e che il numero complesso individuato dal termine noto \(\alpha +\imath\ \beta = -2+\imath\ 0=-2\) è soluzione dell'equazione caratteristica con molteplicità \(\mu =1\), l'integrale particolare della EDO completa lo puoi cercare nella forma:
\[
x\ P_0(x)\ e^{-2x},
\]
ove \(P_0\) è un polinomio di grado \(0\), quindi si riduce ad una costante.
Facendo i conti trovi che una funzione del tipo \(Ax\ e^{-2x}\) è soluzione della EDO completa se e solo se accade:
\[
-24A\ e^{-2 x} = -6\ e^{-2 x}\; ,
\]
cioé solo se \(A=1/4\).
Perciò la tua soluzione particolare è:
\[
\bar{y}(x) = \frac{1}{4}\ x\ e^{-2x}\; .
\]
"gugo82":
L'equazione caratteristica associata alla EDO è \(\lambda^4+8\lambda=0\), ossia \(\lambda\ (\lambda^3 + 8)=0\), cioé:
\[
\lambda\ (\lambda + 2)\ (\lambda^2 -2\lambda + 4)=0
\]
sicché i valori caratteristici sono \(\lambda=0,-2, 1\pm \imath\ \sqrt{3}\).
...uh, che stupido!
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