[Risolto] Funzioni semplici dense in $L^p(\mu)$

[giaorl]

Ho un dubbio su una dimostrazione di una proposizione della teoria degli spazi [tex]L^p(\mu)[/tex]. Denoterò qui di seguito con [tex]X[/tex] un insieme non vuoto, con [tex]\mathfrak{M}[/tex] una [tex]\sigma[/tex]-algebra su [tex]X[/tex], con [tex]\mu[/tex] una misura su [tex](X,\mathfrak{M})[/tex], con [tex]\mathcal{S}:=\{ s:X \rightarrow \mathbb{C}\ |\ s\ semplice\ t.c.\ \mu (\{ x \in X | s(x) \neq 0 \}) < \infty \}[/tex], con [tex]||f||_p:=\left(\int_X{|f|^p d\mu}\right)^{1/p}[/tex], con [tex]L^p(\mu):=\{f:X\rightarrow \mathbb{C}\ |\ f\ misurabile,\ ||f||_p < \infty \}[/tex]
Proposizione: Se [tex]1 \leq p < \infty[/tex], allora [tex]\mathcal{S}[/tex] è denso in [tex]L^p(\mu)[/tex].
Dimostrazione: Si ragiona inizialmente per [tex]f \in L^p(\mu),\ f:X \rightarrow [0,\infty][/tex]. Una funzione misurabile è limite puntale di una successione monotona crescente di funzioni semplici positive: [tex](s_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex]. Poiché [tex]0 \leq s_n \leq f[/tex], certamente [tex]s_n \in L^p(\mu)[/tex], che equivale a richiedere [tex]\mu (\{ x \in X | s(x) \neq 0 \}) < \infty[/tex], cioè [tex]s_n \in \mathcal{S}[/tex]. Inoltre [tex](f-s_n)^p \leq f^p \in L^1(\mu)[/tex], quindi, per il teorema della convergenza dominata di Lebesgue: [tex]\int_X |f - s_n|^p d\mu \to 0[/tex], che è la tesi da provare.

Come ottengo da ciò che ho appena dimostrato il caso generale sulle funzioni complesse? Non riesco a dedurre un granché ragionando sul modulo di f, perché riesco a trovare una funzione semplice reale: quello che ho bisogno di trovare è una funzione semplice a valori complessi...

[giaorl]

Se [tex]f=u+iv[/tex], si applica il risultato precedente a [tex]u^+,u^-,v^+,v^-[/tex]. Penso che vada bene.

[dissonance]

Eh si, va bene.