[Risolto] - Esercizio integrazione per parti
Buonasera a tutt*,
ho il seguente integrale da risolvere (attraverso il metodo per parti):
$ int (xe^x)/(x+1)^2 dx$ ,
ci sto scervellando da ore ma non riesco affatto ad uscirmene.
Ho pensato che essendoci $e^x$ conviene smembrare l'altro termine , e quindi ho provato a sommare e sottrarre $1$ in modo da potermi trovare due integrali :
$int e^x * (x+1-1)/(x+1)^2 dx$ = $int e^x/(x+1)dx - int e^x/(x+1)^2 dx$ , ma in questo caso credo di peggiorare la situazione in quanto dovrei fare una doppia integrazione per parti. Oppure è la strada migliore?
Grazie in anticipo, come sempre.
ho il seguente integrale da risolvere (attraverso il metodo per parti):
$ int (xe^x)/(x+1)^2 dx$ ,
ci sto scervellando da ore ma non riesco affatto ad uscirmene.
Ho pensato che essendoci $e^x$ conviene smembrare l'altro termine , e quindi ho provato a sommare e sottrarre $1$ in modo da potermi trovare due integrali :
$int e^x * (x+1-1)/(x+1)^2 dx$ = $int e^x/(x+1)dx - int e^x/(x+1)^2 dx$ , ma in questo caso credo di peggiorare la situazione in quanto dovrei fare una doppia integrazione per parti. Oppure è la strada migliore?
Grazie in anticipo, come sempre.
Risposte
Spero di non dire una cagata pazzesca, sarà la stanchezza, ma ultimamente tendo a sbagliare.
Prendi $f(x)=x/(x+1)^2$ come fattore differenziale.
Notiamo prima che $\int x / ( x+1)^2 dx = ${fratti semplici}$= ln(|1+x|)+1/(x+1) +c$
Dunque , integrando per parti si ha che
$\int f(x) e^x dx = ln(1+x) e^x + e^x /(1+x) - \int ( ln(|1+x|)+1/(1+x))e^x dx=$
$= ln(1+x) e^x + e^x /(1+x) - \int ln(| x+1| ) e^x dx - \int ( e^x/(1+x)) dx =(*) $
Consideriamo separatamente
$ \int ( e^x/(1+x)) = ln|1+x| e^x - \int ( e^x ln |1+x|) dx$ , sostituendo in $(*)$ , abbiamo che
$(*)= e^x ln|1+x| + e^x /(1+x) - \int ln(| x+1| ) e^x dx - ln|1+x| e^x + \int ( e^x ln |1+x|) dx =$
$e^x/(1+x) - \int ln(| x+1| ) e^x dx + \int ( e^x ln |1+x|) dx $
Sappiamo che due primitive differiscono di una costante, dunque : $- \int ln(| x+1| ) e^x dx + \int ( e^x ln |1+x|) dx = c \in RR$ , pertanto
possiamo concludere che $ \int (x*e^x)/(1+x)^2 dx = e^x/(1+x) + C$.
Ti convince?
Prendi $f(x)=x/(x+1)^2$ come fattore differenziale.
Notiamo prima che $\int x / ( x+1)^2 dx = ${fratti semplici}$= ln(|1+x|)+1/(x+1) +c$
Dunque , integrando per parti si ha che
$\int f(x) e^x dx = ln(1+x) e^x + e^x /(1+x) - \int ( ln(|1+x|)+1/(1+x))e^x dx=$
$= ln(1+x) e^x + e^x /(1+x) - \int ln(| x+1| ) e^x dx - \int ( e^x/(1+x)) dx =(*) $
Consideriamo separatamente
$ \int ( e^x/(1+x)) = ln|1+x| e^x - \int ( e^x ln |1+x|) dx$ , sostituendo in $(*)$ , abbiamo che
$(*)= e^x ln|1+x| + e^x /(1+x) - \int ln(| x+1| ) e^x dx - ln|1+x| e^x + \int ( e^x ln |1+x|) dx =$
$e^x/(1+x) - \int ln(| x+1| ) e^x dx + \int ( e^x ln |1+x|) dx $
Sappiamo che due primitive differiscono di una costante, dunque : $- \int ln(| x+1| ) e^x dx + \int ( e^x ln |1+x|) dx = c \in RR$ , pertanto
possiamo concludere che $ \int (x*e^x)/(1+x)^2 dx = e^x/(1+x) + C$.
Ti convince?
Perfetta!
La verità, non ci sarei arrivato, avrei applicato semplicemente l'integrazione per parti senza andare a risolvere per fratti semplici e annullando i termini... Purtroppo essendo catalogato sotto l'argomento "integrazione per parti" non pensavo di utilizzare altri metodi all'infuori di quest ultimo. Ma se avessi ragionato con la doppia integrazione per parti ci sarei riuscito? O sarebbe stato più complicato?
La verità, non ci sarei arrivato, avrei applicato semplicemente l'integrazione per parti senza andare a risolvere per fratti semplici e annullando i termini... Purtroppo essendo catalogato sotto l'argomento "integrazione per parti" non pensavo di utilizzare altri metodi all'infuori di quest ultimo. Ma se avessi ragionato con la doppia integrazione per parti ci sarei riuscito? O sarebbe stato più complicato?
Lo dico a spanne,ragazzi(come purtroppo ultimamente sovente mi costringo a fare),
e dunque prendetelo col beneficio d'inventario:
una primitiva di quella funzione integranda può essere determinata in due passaggi,
procedendo per parti e scegliendo $e^x*x$ come fattore finito(pertanto $1/((x+1)^2)$ fattore differenziale..)!
Saluti dal web.
Edit.
@Matt:
ciò non toglie che i vari metodi d'integrazione a te noti non sono affatto a compartimenti stagni : wink: ..
e dunque prendetelo col beneficio d'inventario:
una primitiva di quella funzione integranda può essere determinata in due passaggi,
procedendo per parti e scegliendo $e^x*x$ come fattore finito(pertanto $1/((x+1)^2)$ fattore differenziale..)!
Saluti dal web.
Edit.
@Matt:
ciò non toglie che i vari metodi d'integrazione a te noti non sono affatto a compartimenti stagni : wink: ..
"theras":
Lo dico a spanne,ragazzi(come purtroppo ultimamente sovente mi costringo a fare),
e dunque prendetelo col beneficio d'inventario:
una primitiva di quella funzione integranda può essere determinata in due passaggi,
procedendo per parti e scegliendo $e^x*x$ come fattore finito(pertanto $1/((x+1)^2)$ fattore differenziale..)!
Saluti dal web.
Non ho pensato di far ciò perchè mi ha sbilanciato la presenza della $x$ , altrimenti avrei svolto come detto tu. Quindi nulla mi vieta di considerare come fattore finito $e^x*x$ pur essendo una funzione composta? La domanda è un pò stupida , però meglio domandare.
"theras":
Edit.
@Matt:
ciò non toglie che i vari metodi d'integrazione a te noti non sono affatto a compartimenti stagni..
Si , ma hai ragione, però pensavo che il professore intendesse farmi esercitare SOLTANTO con quel metodo proprio perché definita una tipologia di esercizi. Tra gli esercizi degli integrali per sostituzione ce n'erano alcuni che si risolvevano "ad occhio" ma li aveva messi perché dovevamo sostituire lo stesso... :S
Nuovo esercizio , nuovo vincitore :
Questo esercizio di "facile integrazione" è :
$int 2/(t(1-t^2)) dt$ . Ragazzi, mi sto esaurendo.
Questo esercizio di "facile integrazione" è :
$int 2/(t(1-t^2)) dt$ . Ragazzi, mi sto esaurendo.
Facci capire quali tentativi t'hanno portato al questo "esaurimento":
ve n'è bisogno per tanti motivi,
compreso il fatto che una primitiva di quell'integranda la si può calcolare tanto "ad occhio" quanto,
se proprio non ci si riesce,a furia di buone abitudini sugli integrali delle funzioni razionali fratte
(l'ipotesi che tu non le abbia ancora affrontate non comporterebbe l'impossibilità di svolgere il tuo integrale indefinito,
che anzi a quel punto mi saprebbe di scelta del tuo prof come buon viatico a quell'argomento prossimo venturo..)!
Saluti dal web.
ve n'è bisogno per tanti motivi,
compreso il fatto che una primitiva di quell'integranda la si può calcolare tanto "ad occhio" quanto,
se proprio non ci si riesce,a furia di buone abitudini sugli integrali delle funzioni razionali fratte
(l'ipotesi che tu non le abbia ancora affrontate non comporterebbe l'impossibilità di svolgere il tuo integrale indefinito,
che anzi a quel punto mi saprebbe di scelta del tuo prof come buon viatico a quell'argomento prossimo venturo..)!
Saluti dal web.
theras, ho provato a smontarlo cercando di trovare un fattore finito e differenziale, ma arrivo che entrambi mi riportano ad un logaritmo che sotto integrale non è proprio utile averlo.
Sto svolgendo gli integrali trigonometrici con metodo di sostituzione... devo applicare il metodo dei razionali fratti?
Sto svolgendo gli integrali trigonometrici con metodo di sostituzione... devo applicare il metodo dei razionali fratti?
Osserva che $f(t)=2/(t(1-t^2))=2 ((1-t^2)+t^2)/(t(1-t^2))=..$ $AA t in domf$ :
saluti dal web.
:saluti dal web.
Ciao con gli integrali sono proprio incapace!
ricordo che l'unico modo per ottenere qualche miglioramento era fare tanto tanto esercizio. Ora se permetti provo a risolvere il tuo. Ti prego di correggermi quando sbaglio.
$int2/(t(1-t^2)) dt=int2/(t(1-t)(1+t))dt$
a questo punto devo ottenere 3 frazioni distinte con altrettanti numeratori, tu lo hai già fatto?
ricordo che l'unico modo per ottenere qualche miglioramento era fare tanto tanto esercizio. Ora se permetti provo a risolvere il tuo. Ti prego di correggermi quando sbaglio.
$int2/(t(1-t^2)) dt=int2/(t(1-t)(1+t))dt$
a questo punto devo ottenere 3 frazioni distinte con altrettanti numeratori, tu lo hai già fatto?
@Giò(ma non solo..)
Per la serie "le buone abitudini non si scordano mai"
:
oppure prova ad applicare la proprità distributiva del quoziente rispetto alla somma,così da riempire,
in modo lecito ed opportuno ai nostri fini,i puntini d'intercessione che avevo lasciato "a libera interpretazione" nel post precedente .
Saluti dal web.
Per la serie "le buone abitudini non si scordano mai"
:oppure prova ad applicare la proprità distributiva del quoziente rispetto alla somma,così da riempire,
in modo lecito ed opportuno ai nostri fini,i puntini d'intercessione che avevo lasciato "a libera interpretazione" nel post precedente
.Saluti dal web.
"gio73":
Ciao con gli integrali sono proprio incapace!
ricordo che l'unico modo per ottenere qualche miglioramento era fare tanto tanto esercizio. Ora se permetti provo a risolvere il tuo. Ti prego di correggermi quando sbaglio.
$ int2/(t(1-t^2)) dt=int2/(t(1-t)(1+t))dt $
a questo punto devo ottenere 3 frazioni distinte con altrettanti numeratori, tu lo hai già fatto?
Ciao gio73
,ho risolto in tal modo , applicando appunto il metodo delle razionali fratte, quindi ci troviamo!
theras , invece per te ho un'altra domanda (o chiunque altro che si trovi su questo topic) :
scrivere , applicando il metodo dei razionali fratti :
$ A/t + B/(t+1) + C/(t-1) $ è uguale a scrivere $ A/t + (Bt+C)/(1-t^2) $ ?
Grazie come sempre.
Puoi risponderti da solo
(magari provando a trovare a verificare,sapendo come $EEA,B,C in RR$ t.c $f(t)=A/t+B/(t+1)+C/(t-1)$ $AAt in domf$,
che $EED,E,F$ t.c. $f(t)=D/t+(Et+F)/(1-t^2)$ $AA t in domf$ ..):
solo che,a pensarlo nella maniera "alternativa",potresti prendere abitudini a priori non buonissime
(anche se in questo caso,come hai visto a posteriori,sarebbe stata una buona idea
)!
Saluti dal web.
(magari provando a trovare a verificare,sapendo come $EEA,B,C in RR$ t.c $f(t)=A/t+B/(t+1)+C/(t-1)$ $AAt in domf$,
che $EED,E,F$ t.c. $f(t)=D/t+(Et+F)/(1-t^2)$ $AA t in domf$
..):solo che,a pensarlo nella maniera "alternativa",potresti prendere abitudini a priori non buonissime
(anche se in questo caso,come hai visto a posteriori,sarebbe stata una buona idea
)!Saluti dal web.
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