[RISOLTO] Equivalenza norme
Salve a tutti ho dei dubbi sulla dimostrazione riguardo alla seguente proposizione: (POST MODIFICATO E RESO CORRETTO)
Ricordo che $||x||$ è equivalente a $||x||'$ se
La dimostrazione che ho è la seguente:
Voglio mostrare che ogni norma è equivalente alla norma $||x||_2=(\sum_{i=1}^N |x_i|^2)^(1/2)$. Sia $||x||$ una norma qualsiasi e sia $(e_1,..., e_N)$ la base canonica di $mathbb(R)^N$. Si ha
Quindi $c_2=( \sum_{i=1}^N|| e_i||^2)^(1/2)$
Sia $ \phi : (RR^N, || \cdot ||_2) \to (RR, || \cdot ||_2): \phi(x)=||x||$ voglio mostrare che tale funzione è continua e per farlo faccio vedere che è lipschitziana:
Sia $S_N={x \in mathbb(R)^N: ||x||_2 =1}$ tale insieme è chiuso e limitato rispetto a $||x||_2$ (non riporto la dimostrazione perché mi è chiara) e quindi è compatto. Perciò per Weiertstrass $\phi(x)$ ha un minimo, ossia
Voglio mostrare che $||x||>=||x_0||\cdot||x||_2 \forall x \in mathbb(R)^N$ (quindi vorrei che $c_1=||x_0||$) che è vero se e solo se $||x_0||<=||x||/||x||_2 \Leftrightarrow \phi(x_0)=\phi(x/(||x||_2))$ quindi se mostro che $x/||x||_2 \in S_N \forall x\inRR^n$ ho terminato. Chiaramente $||x/||x||_2||_2=||x||_2/||x||_2=1$ quindi $x/||x||_2 \in S_N \forall x\inRR^n$ come volevasi.
Tutte le norme in $mathbb(R)^N$ sono equivalenti
Ricordo che $||x||$ è equivalente a $||x||'$ se
$\exists c_1,c_2 \in mathbb(R): c_1 ||x||'<=||x||<=c_2 ||x||'$
La dimostrazione che ho è la seguente:
Voglio mostrare che ogni norma è equivalente alla norma $||x||_2=(\sum_{i=1}^N |x_i|^2)^(1/2)$. Sia $||x||$ una norma qualsiasi e sia $(e_1,..., e_N)$ la base canonica di $mathbb(R)^N$. Si ha
$ ||x||=||\sum_{i=1}^N x_i e_i||<=\sum_{i=1}^N ||x_i e_i||=\sum_{i=1}^N |x_i|\cdot|| e_i||<= (\sum_{i=1}^N |x_i|^2)^(1/2)( \sum_{i=1}^N|| e_i||^2)^(1/2)=||x||_2( \sum_{i=1}^N|| e_i||^2)^(1/2)$
Quindi $c_2=( \sum_{i=1}^N|| e_i||^2)^(1/2)$
Sia $ \phi : (RR^N, || \cdot ||_2) \to (RR, || \cdot ||_2): \phi(x)=||x||$ voglio mostrare che tale funzione è continua e per farlo faccio vedere che è lipschitziana:
$||\phi(x)-\phi(y)||_2= |\phi(x)-\phi(y)|=|(||x||-||y||)|<=||x-y||<=c_2||x-y||_2$
Sia $S_N={x \in mathbb(R)^N: ||x||_2 =1}$ tale insieme è chiuso e limitato rispetto a $||x||_2$ (non riporto la dimostrazione perché mi è chiara) e quindi è compatto. Perciò per Weiertstrass $\phi(x)$ ha un minimo, ossia
$\exists x_0 \in S_n: \phi(x)>=\phi(x_0) \forall x \in S_N \Leftrightarrow ||x||>=||x_0|| \forall x \in S_N$
Voglio mostrare che $||x||>=||x_0||\cdot||x||_2 \forall x \in mathbb(R)^N$ (quindi vorrei che $c_1=||x_0||$) che è vero se e solo se $||x_0||<=||x||/||x||_2 \Leftrightarrow \phi(x_0)=\phi(x/(||x||_2))$ quindi se mostro che $x/||x||_2 \in S_N \forall x\inRR^n$ ho terminato. Chiaramente $||x/||x||_2||_2=||x||_2/||x||_2=1$ quindi $x/||x||_2 \in S_N \forall x\inRR^n$ come volevasi.
Risposte
È brutto scrivere \(\|x_i\|\) se \(x_i\in \mathbb R\). Anzi è proprio sbagliato, visto che hai previamente definito \(\|\cdot\|\) come una funzione \(\mathbb R^N\to [0, \infty)\). Correggi il tuo post per favore.
Dubbio 1: per definizione di norma su uno spazio vettoriale reale ($V$) hai che vale $||a\mathbf{v}|| = |a|\quad ||\mathbf{v}||$ per ogni $a in RR$ e per ogni $\mathbf{v} \in V$. Arrivi quindi ad avere
$\sum_{i=1}^{N} |x_i| ||e_i|| $ che è il prodotto scalare (quello che definisce la norma 2) tra i vettori
$\mathbf{a} = ((|x_1|), (|x_2|), (\vdots), (|x_n|))$ e $\mathbf{b} = ((||\mathbf{e_1}||), (||\mathbf{e_2}||), (\vdots), (||\mathbf{e_n}||))$ e dunque per Cauchy-Shwarz sai valere $<\mathbf{a},\mathbf{b}>_2 \le ||\mathbf{a}||_2 ||\mathbf{b}||_2$
Poi basta accorgersi che $||\mathbf{a}||_2 = ||\mathbf{x}||_2$ e quindi $c_2 = ||\mathbf{b}||_2$
$\sum_{i=1}^{N} |x_i| ||e_i|| $ che è il prodotto scalare (quello che definisce la norma 2) tra i vettori
$\mathbf{a} = ((|x_1|), (|x_2|), (\vdots), (|x_n|))$ e $\mathbf{b} = ((||\mathbf{e_1}||), (||\mathbf{e_2}||), (\vdots), (||\mathbf{e_n}||))$ e dunque per Cauchy-Shwarz sai valere $<\mathbf{a},\mathbf{b}>_2 \le ||\mathbf{a}||_2 ||\mathbf{b}||_2$
Poi basta accorgersi che $||\mathbf{a}||_2 = ||\mathbf{x}||_2$ e quindi $c_2 = ||\mathbf{b}||_2$
"dissonance":
È brutto scrivere \(\|x_i\|\) se \(x_i\in \mathbb R\). Anzi è proprio sbagliato, visto che hai previamente definito \(\|\cdot\|\) come una funzione \(\mathbb R^N\to [0, \infty)\). Correggi il tuo post per favore.
Si infatti so che è sbagliato ma non riuscivo a capire perché dovevo mettere il valore assoluto... era una sciocchezza che adesso ho capito grazie a
"Bremen000":
Dubbio 1: per definizione di norma su uno spazio vettoriale reale ($ V $) hai che vale $ ||a\mathbf{v}|| = |a|\quad ||\mathbf{v}|| $ per ogni $ a in RR $ e per ogni $ \mathbf{v} \in V $. Arrivi quindi ad avere
$ \sum_{i=1}^{N} |x_i| ||e_i|| $ che è il prodotto scalare (quello che definisce la norma 2) tra i vettori
$ \mathbf{a} = ((|x_1|), (|x_2|), (\vdots), (|x_n|)) $ e $ \mathbf{b} = ((||\mathbf{e_1}||), (||\mathbf{e_2}||), (\vdots), (||\mathbf{e_n}||)) $ e dunque per Cauchy-Shwarz sai valere $ <\mathbf{a},\mathbf{b}>_2 \le ||\mathbf{a}||_2 ||\mathbf{b}||_2 $
Poi basta accorgersi che $ ||\mathbf{a}||_2 = ||\mathbf{b}||_2 $ e quindi $ c_2 = ||\mathbf{b}||_2 $
Quindi primo dubbio risolto (ed eliminato dal posto iniziale), grazie ad entrambi aspetto idee per gli altri
Dubbio 2: stai attento che, come ti diceva dissonance, stai facendo un po' di casino con norma e valore assoluto...
Come dici $\phi : (RR^N, || \cdot ||_2) \to (RR, || \cdot ||_2)$ ma la norma 2 su $RR$ è il valore assoluto e dunque ti basta far vedere che esiste $L \in RR$ t.c. $|\phi(\mathbf{x})-\phi(\mathbf{y})| \le L ||\mathbf{x}-\mathbf{y}||_2$ cosa che in effetti fai.
Ho modificato il primo post, c'era un refuso nella conclusione...
Come dici $\phi : (RR^N, || \cdot ||_2) \to (RR, || \cdot ||_2)$ ma la norma 2 su $RR$ è il valore assoluto e dunque ti basta far vedere che esiste $L \in RR$ t.c. $|\phi(\mathbf{x})-\phi(\mathbf{y})| \le L ||\mathbf{x}-\mathbf{y}||_2$ cosa che in effetti fai.
Ho modificato il primo post, c'era un refuso nella conclusione...
"Bremen000":
Dubbio 2: stai attento che, come ti diceva dissonance, stai facendo un po' di casino con norma e valore assoluto...
Mamma mia davvero ci sono tante piccole sottigliezze che non avevo proprio notato, grazie mi state facendo un po' aprire gli occhi xD
"Bremen000":
Come dici $\phi : (RR^N, || \cdot ||_2) \to (RR, || \cdot ||_2)$ ma la norma 2 su $RR$ è il valore assoluto e dunque ti basta far vedere che esiste $L \in RR$ t.c. $|\phi(\mathbf{x})-\phi(\mathbf{y})| \le L ||\mathbf{x}-\mathbf{y}||_2$ cosa che in effetti fai.
Ho modificato il primo post, c'era un refuso nella conclusione...
Ok grazie ora mi chiare anche questo punto. Modifico il post iniziale
Questo non risponde alla tua domanda ma magari ti da qualche spunto:
Dopo aver dimostrato che la norma è lip. e quindi continua, basta semplicemente notare che $f(x)=||x||/||x||_2$ è continua e quindi ammette max/min su $S$ per Weistrass.
Questo max/min in realtà è globale (tranne in 0) per via della omogenità di $f(x)$ (forse è questo che ti sfuggiva?).
In 0 è facile verificare che le norme non danno problemi di equivalenza.
Dopo aver dimostrato che la norma è lip. e quindi continua, basta semplicemente notare che $f(x)=||x||/||x||_2$ è continua e quindi ammette max/min su $S$ per Weistrass.
Questo max/min in realtà è globale (tranne in 0) per via della omogenità di $f(x)$ (forse è questo che ti sfuggiva?).
In 0 è facile verificare che le norme non danno problemi di equivalenza.
Dubbio 3:
Il contrario: se e solo se $||\mathbf{x_0}|| \le ||\mathbf{x}||/||\mathbf{x}||_2$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$ (per il vettore nullo è banalmente verificata la disuguaglianza del controllo delle norme)
Argh! $S_N$ è un sottoinsieme di $RR^N$ e quello che hai scritto a sinistra del simbolo $\in$ è un numero di $RR$!!
Dunque, la cosa giusta è: se mostriamo che $\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 \in S_N$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$ abbiamo terminato. Cosa che è banalmente vera perché, sempre per la suddetta proprietà delle norme, preso $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ si ha:
$||\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 ||_2 = ||\mathbf{x}||_2/||\mathbf{x}||_2 = 1$ e dunque $\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 \in S_N$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$.
"Freebulls":
che è vero se e solo se $ ||x_0||>=||x||/||x||_2 $
Il contrario: se e solo se $||\mathbf{x_0}|| \le ||\mathbf{x}||/||\mathbf{x}||_2$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$ (per il vettore nullo è banalmente verificata la disuguaglianza del controllo delle norme)
"Freebulls":
quindi se mostro che $ ||x||/||x||_2 \in S_N $ ho terminato.
Argh! $S_N$ è un sottoinsieme di $RR^N$ e quello che hai scritto a sinistra del simbolo $\in$ è un numero di $RR$!!
Dunque, la cosa giusta è: se mostriamo che $\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 \in S_N$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$ abbiamo terminato. Cosa che è banalmente vera perché, sempre per la suddetta proprietà delle norme, preso $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ si ha:
$||\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 ||_2 = ||\mathbf{x}||_2/||\mathbf{x}||_2 = 1$ e dunque $\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 \in S_N$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$.
"Bremen000":
Dubbio 3:
[quote="Freebulls"]che è vero se e solo se $ ||x_0||>=||x||/||x||_2 $
Il contrario: se e solo se $||\mathbf{x_0}|| \le ||\mathbf{x}||/||\mathbf{x}||_2$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$ (per il vettore nullo è banalmente verificata la disuguaglianza del controllo delle norme)
[/quote]
Sisi errore di battitura
"Bremen000":
[quote="Freebulls"]quindi se mostro che $ ||x||/||x||_2 \in S_N $ ho terminato.
Argh! $S_N$ è un sottoinsieme di $RR^N$ e quello che hai scritto a sinistra del simbolo $\in$ è un numero di $RR$!! [/quote]
che disastro..."Bremen000":
Dunque, la cosa giusta è: se mostriamo che $\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 \in S_N$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$ abbiamo terminato. Cosa che è banalmente vera perché, sempre per la suddetta proprietà delle norme, preso $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ si ha:
$||\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 ||_2 = ||\mathbf{x}||_2/||\mathbf{x}||_2 = 1$ e dunque $\mathbf{x}/||\mathbf{x}||_2 \in S_N$ per ogni $\mathbf{x} \in RR^N \setminus \{\mathbf{0} \}$.
Chiarissimo, grazie mille ancora!
Prego 
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