[Risolto] Dominio di un integrale improprio

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Ho l'integrale

$f(x)=\int_x^(+infty) g(t)dt=\arcsin(1/|t|)/(\root(3)(t^3-1))dt$

Devo calcolarne il dominio.

1) Calcolo il dominio dell'integranda. Esso è tale che
*$t \ne 0$
*$t \ne 1$
*$-pi/2 le arcsin(1/|t|) le pi/2 Rightarrow -1 le 1/|t| le 1 Rightarrow t le -1 cup t ge 1$

$Rightarrow text(dominio di ) g(t)=(-infty,-1] \cup (1, +infty)$

2) Controllo la convergenza su $1^+$.

$lim_(x to 1^+) int_x^(+infty) g(t) dt Rightarrow lim_(t to 1^+) \arcsin(1/|t|)/(\root(3)(t^3-1)) = l/(0^+ text( di ordine )1/3)=+infty text( di ordine) 1/3 Rightarrow text(converge)$

3) Controllo se l'integrale "ha senso".

$lim_(t to +infty) \arcsin(1/|t|)/(\root(3)(t^3-1)) = 0 text( di ordine) ge 1 Rightarrow text(converge, ha senso)$

4) Stabilisco il dominio di $f$. Poiché l'integrale è tra $x$ e $+infty$, e poiché il dominio di $g$ presenta una discontinuità tra $-1$ e $+1$, il dominio di $f$ è $[1, +infty)$.

E' corretto?

[Brancaleone1]

Nessuno può aiutarmi?

[gugo82]

Sembra OK.

[Brancaleone1]

Grazie!
Il dubbio mi è venuto perché provando a controllare con Derive vedo che il grafico si estende in $(-infty, +infty)$, ma se mi dici che è giusto come l'ho calcolato mi sento meglio.
Grazie ancora!

[gugo82]

Ciò non è possibile, perchè l'integrando non è definito per \(x\in [-1,1]\); quindi non hai alcuna chanche di calcolare la funzione integrale se \(x\in ]-1,1[\).

[Brancaleone1]

Ok.
Grazie ancora!