[RISOLTO] Discutere convergenza semplice e assoluta della serie: $\sum_{n=1}^(oo) (-1)^n sin(1/n)$

[phigreco1]

Viene chiesto di discutere convergenza semplice e assoluta della serie:
$\sum_{n=1}^(oo) (-1)^n sin(1/n)$

Partendo da ciò che ho saputo fare:
Essendo una serie a segni alterni applico il criterio di Leibniz:
-Pongo:
$a_n = sin(1/n)$
-Verifico che $lim_(n->oo) a_n=0$ :
Infatti si ha che per $n->oo$ $=>sin(1/n)~(1/n)$ e quindi $lim_(n->oo) 1/n = 0$ e dunque la prima condizione è verificata
-Studio la convergenza assoluta:
Applicando il criterio del confronto asintotico si vede nuovamente che:
per $n->oo$ $=>sin(1/n)~(1/n)$ $=>$ si può dunque studiare la serie $\sum_{n=1}^(oo) (1/n)$ che corrisponde ad
un'armonica, il cui carattere divergente è noto.
$=>$ Dunque posso concludere che la serie non converge assolutamente in quanto l'armonica diverge.

Per quanto riguarda la convergenza semplice oltre alla condizione $lim_(n->oo) a_n=0$ rimane da verificare che ${a_n}_n$ sia decrescente e cioè che:
$ a_(k+1) <= a_k $ dunque $ sin(1/(n+1)) <= sin(1/n)$
Come bisogna procedere?

[quantunquemente]

la decrescenza deriva banalmente dal fatto che il seno è crescente in $[0,pi/2]$

[phigreco1]

E, in questo caso, ciò come lo si esplica algebricamente?

[quantunquemente]

siccome il seno è crescente, $1/(n+1)< 1/n$ implica che $sin(1/(n+1))

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[phigreco1]

Ti ringrazio. Un'ultima cosa, ho trovato tra le soluzioni che effettivamente la tua spiegazione combacia, ma c'è un pezzo aggiuntivo che non ho capito.
Riporto quanto scritto sulle soluzioni:
"Infatti, poiché, $0<1/n<=1=1$ e $f(t)=sint$ è crescente per $tin]0,pi/2[$ si ha $n 1/(n+1)<1/n =>sin(1/(n+1)) In particolare da dove deriva:
$0<1/n<=1=1$ maggiorato da $pi/2$?

[quantunquemente]

scusa,se ad $n$ di $1/n$ sostituisci i valori da $1$ in poi,ottieni
$1,1/2,1/3,......$ che sono tutti numeri minori o uguali ad $1$ che è ovviamente minore di $pi/2$

[phigreco1]

perfetto. Grazie mille.