[risolto] Determinare gli estremi di una successione logaritmica
Ciao a tutti, nell'ultimo compito di Analisi 1 della mia università c'era il seguente esercizio:
Determinare l'estremo superiore ed inferiore della successione
${log(2n+n^((-1)^n))}$
Come penso si risolva?
1) dimostrare che la funzione è monotona, in questo caso crescente. derivando
per n pari
$f'(x) = (1/(2x+x))*(2+1)$ che diventa $1/x$ da cui per studiarne il segno pongo $1/x>=0$ ottenendo che f(x) è crescente per ogni x>0
per n dispari
$f'(x) = (1/(2x+1/x))*(2+(1/x^2))$ che diventa $1/x$ da cui per studiarne il segno pongo $1/x>=0$ ottenendo che f(x) è crescente per ogni x>0
2) la successione dovrebbe essere limitata solo inferiormente dal valore $log3$ ottenuto sostituendo a $n$ il valore 1
Mi trovo un po nel panico come penso si capisce
Grazie!
Determinare l'estremo superiore ed inferiore della successione
${log(2n+n^((-1)^n))}$
Come penso si risolva?
1) dimostrare che la funzione è monotona, in questo caso crescente. derivando
per n pari
$f'(x) = (1/(2x+x))*(2+1)$ che diventa $1/x$ da cui per studiarne il segno pongo $1/x>=0$ ottenendo che f(x) è crescente per ogni x>0
per n dispari
$f'(x) = (1/(2x+1/x))*(2+(1/x^2))$ che diventa $1/x$ da cui per studiarne il segno pongo $1/x>=0$ ottenendo che f(x) è crescente per ogni x>0
2) la successione dovrebbe essere limitata solo inferiormente dal valore $log3$ ottenuto sostituendo a $n$ il valore 1
Mi trovo un po nel panico come penso si capisce
Grazie!
Risposte
up
mi sembra che il tuo ragionamento non faccia una piega!! questa successione è si solo limitata inferiormente, basta provare con diversi n giusto per vedersi l'andamento generale...
@clivend: hai dimostrato che sia l'estratta pari che quella dispari sono monotone crescenti*, non che la successione è crescente (non lo è). In ogni caso, ti è semplice dimostrare che per ogni $n$ è $2n+n^{(-1)^n}\ge 3$, e di conseguenza
\[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\qquad a_1=\log 3\le \log (2n+n^{(-1)^n})=a_n\]
Il sup è facile, ti basta notare che $a_n\to +\infty$.
____________________________________
[size=85]*Utilizzare le derivate mi sembra eccessivo: l'estratta pari è
\[a_{2n}=\log \left(2(2n)+(2n)^{(-1)^{2n}}\right)=\log 6n\]
mentre quella dispari è
\[a_{2n+1}=\log\left(2(2n+1)+(2n+1)^{(-1)^{2n}}\right)=\log (4n+2+\frac{1}{2n+1})\]
[/size]
\[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\qquad a_1=\log 3\le \log (2n+n^{(-1)^n})=a_n\]
Il sup è facile, ti basta notare che $a_n\to +\infty$.
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[size=85]*Utilizzare le derivate mi sembra eccessivo: l'estratta pari è
\[a_{2n}=\log \left(2(2n)+(2n)^{(-1)^{2n}}\right)=\log 6n\]
mentre quella dispari è
\[a_{2n+1}=\log\left(2(2n+1)+(2n+1)^{(-1)^{2n}}\right)=\log (4n+2+\frac{1}{2n+1})\]
[/size]
Grazie mille a entrambi per i preziosissimi contributi!
Rimangono ancora 2 piccoli dubbi. Il primo è che disegnando la funzione con una calc viene fuori un grafico come questo
dove vedo la f crescere sempre anche se lentamente.
Il secondo, è che secondo lo stesso software (microsoft mathematics), $log(2x+x^(-1^x))$ = $log(2x+1/x)$
ma non riesco a capire in base a quale proprietà delle potenze
Rimangono ancora 2 piccoli dubbi. Il primo è che disegnando la funzione con una calc viene fuori un grafico come questo
dove vedo la f crescere sempre anche se lentamente.
Il secondo, è che secondo lo stesso software (microsoft mathematics), $log(2x+x^(-1^x))$ = $log(2x+1/x)$
ma non riesco a capire in base a quale proprietà delle potenze
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