[RISOLTO] Definizione di \(\mathcal{L}^1\): Valore assoluto o no?
Salve ragazzi,
Sul mio testo di probabilità trovo questa definizione di spazio \(\mathcal{L}^1\) (si è precedentemente definito l'integrale per funzioni non negative):
In pratica abbiamo definito \(\mathcal{L}^1\) come lo spazio delle funzioni con integrale finito, ovvero tali che:
\[\int_\Omega fd\mu < \infty\]
Poco dopo nel testo si dice:
Per \(p = 1\) però la definizione è diversa da quella data sopra, a meno che:
\[\int_\Omega |f|d\mu < \infty \iff \int_\Omega fd\mu < \infty\]
Io di mio so che:
\[\left|\int_\Omega fd\mu\right| <\int_\Omega |f|d\mu\]
e che di conseguenza
\[\int_\Omega |f|d\mu < \infty \implies \int_\Omega f d\mu< \infty\]
Ma il viceversa non mi torna... Che dite?
Sul mio testo di probabilità trovo questa definizione di spazio \(\mathcal{L}^1\) (si è precedentemente definito l'integrale per funzioni non negative):
Dato uno spazio di misura \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) e \(f: \Omega \to \mathbb{R}\) \((\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)-misurabile si dice che \(f\) ammette integrale se \(f^+\) e \(f^-\) non sono entrambe uguali a \(\infty\). E si scrive:
\[\int_\Omega f d\mu := \int_\Omega f^+d\mu - \int_\Omega f^-d\mu\]
Se inoltre tale integrale è finito si dice che \(f\) è integrabile. L'insieme delle funzioni integrabili su \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) si indica con \(\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{A},\mu)\)[nota]Successivamente si è definito, come è solito, lo spazio \(L^1\) come spazio quoziente rispetto alle relazione di equivalenza quasi ovunque: \(L^1 := \mathcal{L}^1 / \sim\)[/nota].
In pratica abbiamo definito \(\mathcal{L}^1\) come lo spazio delle funzioni con integrale finito, ovvero tali che:
\[\int_\Omega fd\mu < \infty\]
Poco dopo nel testo si dice:
Si definisce spazio \(\mathcal{L}^p\), con \(1 \le p < \infty\), lo spazio delle funzioni tali che:
\[\int_\Omega |f|^pd\mu < \infty\]
Per \(p = 1\) però la definizione è diversa da quella data sopra, a meno che:
\[\int_\Omega |f|d\mu < \infty \iff \int_\Omega fd\mu < \infty\]
Io di mio so che:
\[\left|\int_\Omega fd\mu\right| <\int_\Omega |f|d\mu\]
e che di conseguenza
\[\int_\Omega |f|d\mu < \infty \implies \int_\Omega f d\mu< \infty\]
Ma il viceversa non mi torna... Che dite?
Risposte
Non vorrei sbagliare, visto che non le hai scritte le definizioni, ma mi pare che
$$|f|=\left\{\begin{array}{lcl}
f^+ & & f\ge 0\\ -f^- & & f<0
\end{array}\right.$$
per cui mi pare che torni tutto, non credi?
$$|f|=\left\{\begin{array}{lcl}
f^+ & & f\ge 0\\ -f^- & & f<0
\end{array}\right.$$
per cui mi pare che torni tutto, non credi?
Innanzi tutto grazie per la risposta.
Le definizioni sono:
\[f^+ = \max\{f,0\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f^- = -\min\{f,0\}\]
che sono entrambe due funzioni positive.
Così si dovrebbe avere:
\[ |f| = f^+ + f^-\]
Le definizioni sono:
\[f^+ = \max\{f,0\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f^- = -\min\{f,0\}\]
che sono entrambe due funzioni positive.
Così si dovrebbe avere:
\[ |f| = f^+ + f^-\]
"Emar":
Salve ragazzi,
Sul mio testo di probabilità trovo questa definizione di spazio \(\mathcal{L}^1\) (si è precedentemente definito l'integrale per funzioni non negative):
Dato uno spazio di misura \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) e \(f: \Omega \to \mathbb{R}\) \((\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)-misurabile si dice che \(f\) ammette integrale se \(f^+\) e \(f^-\) non sono entrambe uguali a \(\infty\). E si scrive:
\[\int_\Omega f d\mu := \int_\Omega f^+d\mu - \int_\Omega f^-d\mu\]
Se inoltre tale integrale è finito si dice che \(f\) è integrabile. L'insieme delle funzioni integrabili su \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) si indica con \(\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{A},\mu)\).
In pratica abbiamo definito \(\mathcal{L}^1\) come lo spazio delle funzioni con integrale finito, ovvero tali che:
\[\int_\Omega fd\mu < \infty\]
Le frasi in grassetto sono sbagliate.
La prima si corregge facilmente, in quanto credo si voglia dire:
se \(\int_\Omega f^+\text{d}\mu\) e \(\int_\Omega f^-\text{d}\mu\) non sono entrambi uguali a \(+\infty\)
Fatta tale correzione, la seconda è irrimediabilmente falsa.
Infatti, per come l'ha definito sopra, l'integrale \(\int_\Omega f\text{d}\mu\) può assumere il valore \(+\infty\) [risp. \(-\infty\)]: basta richiedere che \(f^-=0\) q.o. rispetto a \(\mu\) e che \(\int_\Omega f^+\text{d}\mu=+\infty\) [risp. \(f^+=0\) q.o. rispetto a \(\mu\) e che \(\int_\Omega f^- \text{d}\mu=+\infty\)].
Detto ciò, la definizione di \(\mathcal{L}^1\) è la seguente:
\[
f\in \mathcal{L}^1 (\mu)\quad \Leftrightarrow \quad \int_\Omega |f|\ \text{d}\mu <\infty \quad \Leftrightarrow \quad \int_\Omega f^\pm\ \text{d}\mu <\infty\; ,
\]
con l'equivalenza tra gli ultimi due che si giustifica notando che \(0\leq f^\pm \leq |f|\) e \(|f| = f^+ +f^-\) in \(\Omega\).
P.S.: Nota che le definizioni usualmente adottate di parte positiva e parte negativa sono quelle scritte da ciampax; in particolare, la \(f^-\) è una funzione positiva.
Aggiungo alle considerazioni di Ciampax e di Gugo che questa scrittura:
si usa solo quando la funzione integranda è non negativa. Infatti solo in quel caso una disuguaglianza del genere implica l'esistenza dell'integrale come un ben definito numero reale. Se la funzione integranda non ha un segno, quella scrittura è ambigua, perché l'integrale potrebbe non esistere oppure essere uguale a \(-\infty\). (Uno potrebbe calcare la mano e osservare che, se un integrale partecipa ad una disuguaglianza, allora deve necessariamente esistere. Ma qui si va sul sofistico, e comunque è una cosa troppo sottile per essere accettabile, almeno dal mio punto di vista).
"Emar":
\[\int_\Omega f d\mu < \infty\]
si usa solo quando la funzione integranda è non negativa. Infatti solo in quel caso una disuguaglianza del genere implica l'esistenza dell'integrale come un ben definito numero reale. Se la funzione integranda non ha un segno, quella scrittura è ambigua, perché l'integrale potrebbe non esistere oppure essere uguale a \(-\infty\). (Uno potrebbe calcare la mano e osservare che, se un integrale partecipa ad una disuguaglianza, allora deve necessariamente esistere. Ma qui si va sul sofistico, e comunque è una cosa troppo sottile per essere accettabile, almeno dal mio punto di vista).
Messaggio cancellato per errore.
"dissonance":
=(Uno potrebbe calcare la mano e osservare che, se un integrale partecipa ad una disuguaglianza, allora deve necessariamente esistere. Ma qui si va sul sofistico, e comunque è una cosa troppo sottile per essere accettabile, almeno dal mio punto di vista).
Io l'ho sempre pensata così. In ogni caso rimando alla foto che ho messo, che magari ho mal interpretato.
Grazie anche a te per la risposta
PS: Se qualcuno si chiedesse perché devo imparare queste cose in Probabilità per vederle successivamente in Analisi Reale la risposta è che non lo so
C'è un errore: hai scritto \[\lvert f \rvert= f^+-f^-\tag{!!}\]laddove invece è \[\lvert f\rvert = f^+ + f^-.\]E' tutta lì la confusione
Per errore ho modificato il messaggio precedente sovrascrivendolo, oggi non è giornata. Riporto qui l'immagine del testo:
La risposta al mio quesito è in questa affermazione di Gugo:
Infatti il testo non afferma, come sostenevo io poco fa, che \[f \in \mathcal{L}^1 \quad \iff \quad \int_\Omega f \text{d}\mu < \infty\]
ma bensì che:
\[f \in \mathcal{L}^1 \quad \iff \quad \int_\Omega f^+ \text{d}\mu < \infty \wedge \int_\Omega f^- \text{d}\mu < \infty\]
Che, grazie a quanto scritto da Gugo, è equivalente a \(\int_\Omega |f| \ \text{d}\mu < \infty\).
Che svista!
Grazie mille
La risposta al mio quesito è in questa affermazione di Gugo:
"gugo82":
\[
f\in \mathcal{L}^1 (\mu)\quad \Leftrightarrow \quad \int_\Omega |f|\ \text{d}\mu <\infty \quad \Leftrightarrow \quad \int_\Omega f^\pm\ \text{d}\mu <\infty\; ,
\]
con l'equivalenza tra gli ultimi due che si giustifica notando che \(0\leq f^\pm \leq |f|\) e \(|f| = f^+ +f^-\) in \(\Omega\).
Infatti il testo non afferma, come sostenevo io poco fa, che \[f \in \mathcal{L}^1 \quad \iff \quad \int_\Omega f \text{d}\mu < \infty\]
ma bensì che:
\[f \in \mathcal{L}^1 \quad \iff \quad \int_\Omega f^+ \text{d}\mu < \infty \wedge \int_\Omega f^- \text{d}\mu < \infty\]
Che, grazie a quanto scritto da Gugo, è equivalente a \(\int_\Omega |f| \ \text{d}\mu < \infty\).
Che svista!
Grazie mille
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