[RISOLTO] Cond. necessarie/sufficienti per limiti con parametro reale
Propongo il seguente esercizio per introdurre una questione che sto cercando di digerire ma che non vuole andare giu' ...
Si voglia trovare per quali \(\alpha\) positivi, \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x\sqrt{|y|}) \log(1 + y^2)}{(x^2 + y^2)^\alpha} = 0\]
Mi viene piuttosto naturale passare in coordinate polari: \[\lim_{\rho \to 0} \frac{\sin(\rho^{3/2}\cos\theta\sqrt{|\sin\theta|}) \log(1 + \rho^2\sin^2{\theta})}{\rho^{2\alpha}} \Rightarrow \lim_{\rho \to 0} {\rho^{7/2 - 2\alpha} \cos\theta|\sin\theta|^{5/2}} \le \lim_{\rho \to 0} {\rho^{7/2 - 2\alpha} |\cos\theta||\sin\theta|^{5/2}}\] Dato che \(|\cos\theta|\cdot|\sin\theta|^{3/2}\) ammette minimo assoluto sul compatto \([0,2\pi]\), mi basta che \(\alpha < 7/4\) perche' il limite valga zero.
Quindi, ho trovato una funzione che maggiora la mia funzione di partenza e che tende a zero per alcuni valori di \(\alpha\): sicuramente se \(\alpha \in (0,7/4)\) posso usare il teorema del confronto. Nulla pero' mi dice che se \(\alpha \notin (0,7/4)\) la mia funzione non converga - al piu' e' stata inutile la maggiorazione.
Per chiudere l'esercizio e' stato suggerito da un mio professore di trovare una condizione necessaria per la convergenza (?); i.e. restringere la funzione ad un cammino preciso e trovare i valori del parametro \(\alpha\) per cui quella restrizione converge.
Se come cammino scegliessi \((x,x)\) muovendomi solo lungo la semiretta del primo quadrante - non voglio pensare a \(|x|\) - avrei \[\frac{\sin(x\sqrt{|x|}) \log(1 + x^2)}{(2x^2)^\alpha} \sim |C| x^{7/2 -2\alpha}\] che va a zero solo quando \(\alpha < 7/4\).
In conclusione \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x\sqrt{|y|}) \log(1 + y^2)}{(x^2 + y^2)^\alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha < 7/4.\] Intervalli piu' `piccoli` sarebbero in contraddizione con la condizione sufficiente ricavata all'inizio.
Scarto poi gli intervalli che contengono `propriamente` \((0,7/4)\) perche' farebbero divergere la restrizione della funzione al cammino \((x,x)\) ogni volta che \(\alpha \ge 7/4\).
Che dite?
Ringrazio,
Giuseppe
Si voglia trovare per quali \(\alpha\) positivi, \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x\sqrt{|y|}) \log(1 + y^2)}{(x^2 + y^2)^\alpha} = 0\]
Mi viene piuttosto naturale passare in coordinate polari: \[\lim_{\rho \to 0} \frac{\sin(\rho^{3/2}\cos\theta\sqrt{|\sin\theta|}) \log(1 + \rho^2\sin^2{\theta})}{\rho^{2\alpha}} \Rightarrow \lim_{\rho \to 0} {\rho^{7/2 - 2\alpha} \cos\theta|\sin\theta|^{5/2}} \le \lim_{\rho \to 0} {\rho^{7/2 - 2\alpha} |\cos\theta||\sin\theta|^{5/2}}\] Dato che \(|\cos\theta|\cdot|\sin\theta|^{3/2}\) ammette minimo assoluto sul compatto \([0,2\pi]\), mi basta che \(\alpha < 7/4\) perche' il limite valga zero.
Quindi, ho trovato una funzione che maggiora la mia funzione di partenza e che tende a zero per alcuni valori di \(\alpha\): sicuramente se \(\alpha \in (0,7/4)\) posso usare il teorema del confronto. Nulla pero' mi dice che se \(\alpha \notin (0,7/4)\) la mia funzione non converga - al piu' e' stata inutile la maggiorazione.
Per chiudere l'esercizio e' stato suggerito da un mio professore di trovare una condizione necessaria per la convergenza (?); i.e. restringere la funzione ad un cammino preciso e trovare i valori del parametro \(\alpha\) per cui quella restrizione converge.
Se come cammino scegliessi \((x,x)\) muovendomi solo lungo la semiretta del primo quadrante - non voglio pensare a \(|x|\) - avrei \[\frac{\sin(x\sqrt{|x|}) \log(1 + x^2)}{(2x^2)^\alpha} \sim |C| x^{7/2 -2\alpha}\] che va a zero solo quando \(\alpha < 7/4\).
In conclusione \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x\sqrt{|y|}) \log(1 + y^2)}{(x^2 + y^2)^\alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha < 7/4.\] Intervalli piu' `piccoli` sarebbero in contraddizione con la condizione sufficiente ricavata all'inizio.
Scarto poi gli intervalli che contengono `propriamente` \((0,7/4)\) perche' farebbero divergere la restrizione della funzione al cammino \((x,x)\) ogni volta che \(\alpha \ge 7/4\).
Che dite?
Ringrazio,
Giuseppe
Risposte
Ora direi che ci siamo,Giuseppe
(almeno nella struttura del ragionamento,perché i conti non riesco a controllarli bene visto che sul cell. compare solo codice..)
:
saluti dal web.
(almeno nella struttura del ragionamento,perché i conti non riesco a controllarli bene visto che sul cell. compare solo codice..)
:saluti dal web.
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