[RISOLTO] Completezza di $RR^n$
Buonasera, sto avendo delle difficoltà nel capire alcuni passaggi nella dimostrazione della completezza di $RR^n$
Ricordo che uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento dello spazio
Proposizione: Lo spazio $(RR^n, ||\cdot||)$ è completo.
Dimostrazione:
Avendo dimostrato che le norme in $RR^n$ sono tutte equivalenti (click!), mi basta mostrare che l'enunciato è vero utilizzando la norma-2 $||\mathbf{x}||_2=(\sum_{i=1}^n |x_i|^2)^(1/2)$.
Sia ${\mathbf{x}_n}$ una successione di Cauchy ossia
Poiche ogni successione di Cauchy è limitata allora per Bolzano-Weierstrass
Quindi per la disuguaglianza triangolare si ha $\varepsilon>0$
Ora c'è il problema che qui mi variano sia $k$ che $n$. Se ho ben essendo $n$ una variabile muta posso scrivere le relazione sopra in questo modo
Di conseguenza preso $k>=max{N_1,N_2}$ sia ha che
Poiché se $k>=N$ allora anche $n_k>=N$ poiché per definizione di sottosuccessione la successione naturale che ad ogni $n$ associa $n_k$ è strettamente crescente, giusto?
Inoltre $\mathbf{l}\inRR^n$ perché $\mathbf{l}$ è di accumulazione e $RR^n$ essendo chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, giusto?
Più che altro vorrei esser sicuro di aver capito bene
Ricordo che uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy converge ad un elemento dello spazio
Proposizione: Lo spazio $(RR^n, ||\cdot||)$ è completo.
Dimostrazione:
Avendo dimostrato che le norme in $RR^n$ sono tutte equivalenti (click!), mi basta mostrare che l'enunciato è vero utilizzando la norma-2 $||\mathbf{x}||_2=(\sum_{i=1}^n |x_i|^2)^(1/2)$.
Sia ${\mathbf{x}_n}$ una successione di Cauchy ossia
$\forall\varepsilon>0 \exists N_1>=\varepsilon:\forall n,m>N_1 \Rightarrow d(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_m)<\varepsilon$
Poiche ogni successione di Cauchy è limitata allora per Bolzano-Weierstrass
$\exists{\mathbf{x}_(n_k)}: \forall\varepsilon>0 \exists N_2: \forall k>N_2 \Rightarrow d(\mathbf{x}_(n_k),\mathbf{l})<\varepsilon$
Quindi per la disuguaglianza triangolare si ha $\varepsilon>0$
$d(\mathbf{x}_n,\mathbf{l})<=d(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_(n_k))+d(\mathbf{x}_(n_k),\mathbf{l})$
Ora c'è il problema che qui mi variano sia $k$ che $n$. Se ho ben essendo $n$ una variabile muta posso scrivere le relazione sopra in questo modo
$d(\mathbf{x}_k,\mathbf{l})<=d(\mathbf{x}_k,\mathbf{x}_(n_k))+d(\mathbf{x}_(n_k),\mathbf{l})$
Di conseguenza preso $k>=max{N_1,N_2}$ sia ha che
$d(\mathbf{x}_k,\mathbf{l})<=2\varepsilon$
Poiché se $k>=N$ allora anche $n_k>=N$ poiché per definizione di sottosuccessione la successione naturale che ad ogni $n$ associa $n_k$ è strettamente crescente, giusto?
Inoltre $\mathbf{l}\inRR^n$ perché $\mathbf{l}$ è di accumulazione e $RR^n$ essendo chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, giusto?
Più che altro vorrei esser sicuro di aver capito bene
Risposte
Perche' complicarsi le cose cosi'? Osserva che $|x_i^h-x_i^k|\le d(x^h,x^k)$ per ogni $h,k\in\mathbb N$ e per ogni $i=1,...,n$, quindi ciascuna successione $(x_i^n)_n$ e' di Cauchy, e converge siccome $\mathbb R$ e' completo.
"Freebulls":
Ora c'è il problema che qui mi variano sia $k$ che $n$. Se ho ben essendo $n$ una variabile muta posso scrivere le relazione sopra in questo modo
In realtà questo non è un vero problema, per quanto dici sotto, cioè:
Poiché se $k>=N$ allora anche $n_k>=N$ poiché per definizione di sottosuccessione la successione naturale che ad ogni $n$ associa $n_k$ è strettamente crescente, giusto?
Potresti prendere $n>N_1$ e $k>max{N_1,N_2}$.
Inoltre $\mathbf{l}\inRR^n$ perché $\mathbf{l}$ è di accumulazione e $RR^n$ essendo chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, giusto?
Qua però c'è un po' di confusione, in realtà che questo $l$ appartiene ad $RR^n$ te lo dice il teorema di Bolzano-Weierstrass.
"Luca.Lussardi":
Perche' complicarsi le cose cosi'? Osserva che $ |x_i^h-x_i^k|\le d(x^h,x^k) $ per ogni $ h,k\in\mathbb N $ e per ogni $ i=1,...,n $, quindi ciascuna successione $ (x_i^n)_n $ e' di Cauchy, e converge siccome $ \mathbb R $ e' completo.
Non ho capito molto
"otta96":Inoltre $\mathbf{l}\inRR^n$ perché $\mathbf{l}$ è di accumulazione e $RR^n$ essendo chiuso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, giusto?
Qua però c'è un po' di confusione, in realtà che questo $l$ appartiene ad $RR^n$ te lo dice il teorema di Bolzano-Weierstrass.
L'enunciato dice solo che si può estrarre una sottosuccesione convergente ma ora che ci penso nella dimostrazione si utilizzano gli intervalli inscatolati quindi il valore a cui la sottosuccessione converge deve necessariamente appartenere all'insieme al quale appartiene la successione.
Credo di aver capito, grazie
"Freebulls":
Avendo dimostrato che le norme in $RR^n$ sono tutte equivalenti (click!),
Ma per dimostrare che tutte le norme sono equivalenti hai implicitamente usato il fatto che \(\mathbb R^n\) è completo. Infatti hai usato che gli insiemi chiusi e limitati sono compatti, da cui immediatamente discende la completezza (Dimostrazione: Una successione di Cauchy è necessariamente limitata, e quindi per compattezza ha almeno una sottosuccessione convergente. Dalla condizione di Cauchy discende subito che il limite è unico). Logicamente quindi stai facendo un argomento circolare.
Si ragiona al contrario: per prima cosa dimostra che \(\mathbb R^n\) con la norma euclidea è completo e che gli insiemi chiusi e limitati sono compatti. Dopodiché passi alle altre norme.
"dissonance":
[quote="Freebulls"]
Avendo dimostrato che le norme in $RR^n$ sono tutte equivalenti (click!),
Ma per dimostrare che tutte le norme sono equivalenti hai implicitamente usato il fatto che \(\mathbb R^n\) è completo. Infatti hai usato che gli insiemi chiusi e limitati sono compatti, da cui immediatamente discende la completezza (Dimostrazione: Una successione di Cauchy è necessariamente limitata, e quindi per compattezza ha almeno una sottosuccessione convergente. Dalla condizione di Cauchy discende subito che il limite è unico). Logicamente quindi stai facendo un argomento circolare.
Si ragiona al contrario: per prima cosa dimostra che \(\mathbb R^n\) con la norma euclidea è completo e che gli insiemi chiusi e limitati sono compatti. Dopodiché passi alle altre norme.[/quote]
:mmh:
Abbiamo introdotto gli spazi metrici nelle ultime due settimane di lezione di analisi 2 e l'ordine in cui abbiamo dimostrato i teoremi è stato questo:
Cauchy-Schwarz
Weierstrass
Bolzano-Weierstrass (per successioni)
Heine-Borel
Equivalenze Norme
$RR^n$ è completo
ecc...
Penso che Heine-Borel mi ha permesso di dimostrare l'equivalenze delle norme che a sua volta mi ha permesso di mostrare che $RR^n$ è completo, dici che non funziona come ragionamento? Cioè in HB non sfrutto il fatto che $RR^n$ è completo o almeno mi pare
OK. In effetti leggendo il tuo primo post, ciò che realmente stai facendo è proprio dimostrare la completezza partendo dalla compattezza dei chiusi e limitati. In effetti stai dimostrando questo teorema più generale:
Teorema Se $M$ è uno spazio metrico tale che ogni sottoinsieme chiuso e limitato è compatto, allora $M$ è completo.
Invece Luca Lussardi sta proponendo un'altra strada: sfruttare il fatto che \(\mathbb R^n\) è il prodotto cartesiano di \(n\) copie di \(\mathbb R\), che è uno spazio metrico completo.
Teorema Se $M$ è uno spazio metrico tale che ogni sottoinsieme chiuso e limitato è compatto, allora $M$ è completo.
Invece Luca Lussardi sta proponendo un'altra strada: sfruttare il fatto che \(\mathbb R^n\) è il prodotto cartesiano di \(n\) copie di \(\mathbb R\), che è uno spazio metrico completo.
Ah ok ho capito, grazie anche a te!
Colgo l'occasione per una riflessione credo istruttiva per gli studenti, riflessione che calza alla perfezione qui, la completezza di $\mathbb R^n$ si scarica sulla completezza di $\mathbb R$. Se uno va a guardare tutte le dimostrazioni di completezza scopre che tutte alla fine si appoggiano alla completezza di $\mathbb R$, la quale e' praticamente assiomatica, cioe' $\mathbb R$ e' definito come il completamento di $\mathbb Q$. La completezza e' una proprieta' importantissima in analisi (vedi Rudin-Functional Analysis che dedica uno dei primi capitoli a questo argomento) ma sfugge il suo vero significato profondo secondo me, perche' alla fin della fiera la "vera" completezza si postula all'inizio di tutto.
Vero è un fatto interessante, proprio ieri stavo rivedendo le varie costruzioni di $RR$ a partire da $QQ$ e solo ieri ho capito bene (ma devo dire che ancora non sento di averli ben "metabolizzati") il significato dei tre assiomi di continuità o completezza che ci sono stati proposti all'inizio del corso di analisi 1:
Assioma di Dedekind
Assioma degli intervalli inscatolati
Assioma dell'estremo superiore.
Però ora forse stiamo andando un po Off-Topic. Grazie per la riflessione!
Assioma di Dedekind
Assioma degli intervalli inscatolati
Assioma dell'estremo superiore.
Però ora forse stiamo andando un po Off-Topic. Grazie per la riflessione!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo