[RISOLTO] Come agire quando la funzione integrale è una funzione esponenziale?

[alessandromagno08]

Ciao,

$\int_{0}^{2} k$ $e^(-kx)$ $dx = 1 -$ $e^(-2k)$, con k costante.

Mi spiegate come si svolge l'integrale per arrivare alla soluzione?

$\int_{0}^{2} k$ $e^(-kx)$ $dx = k\int_{0}^{2} $ $e^(-kx) dx$

La funzione integrale la devo considerare come il risultato di una derivata della funzione composta? Mi aiutate a capire lo svolgimento?

Grazie anticipatamente!

[gugo82]

Si tratta, come diceva il mio docente di Analisi I, di un integrale "della tabella" nella forma:

$int f^\prime(x)\ e^(f(x))\ "d" x = e^(f(x)) + C$

ti basta solo moltiplicare dentro e fuori per $-1$.

[alessandromagno08]

Grazie gugo82,

quindi era meglio lasciare la costante dentro l'integrale, cioè:

$\int_{0}^{2} k$ $e^(-kx) dx = -1 \int_{0}^{2} k e^(-kx) (-1) dx = -\int_{0}^{2} -k e^(-kx) dx$

con $f(x) = -kx$ e quindi $f'(x) = -k$

quindi

$-\int_{0}^{2} -k e^(-kx) dx = -[e^(-kx)]_0^2 = -e^(-2x) +1$

Corretto?
Grazie!!!

[pilloeffe]

Ciao alessandromagno08,

"alessandromagno08":Corretto?

Sì.
Invece non è corretto ciò che hai scritto nell'OP, c'è una $k$ invece di una $x$:

"alessandromagno08":$\int_{0}^{2} k e^{- kx} dx = 1 - e^{- 2k} $

[alessandromagno08]

Grazie!