[Risolto] Calcolo integrali per serie e stima del resto

[fbcyborg]

Salve gente, volevo un chiarimento sul calcolo della stima del resto.

Prendiamo per esempio il seguente integrale da calcolare per serie:
$\int_0^1 ln(1+x)/x dx$
Esprimendolo come serie di potenze ho: $\int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n / {n+1} dx$ che diventa:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n / {n+1} \int_0^1 x^n dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n / {n+1} 1/{n+1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n / (n+1)^2$

Ora se io volessi calcolare l'integrale con un certo errore non superiore a $1/10^4$ potrei fare:
$|R_n|<=1/(n+2)^2$ ed impongo che: $1/(n+2)^2 < 1/100^2$ da cui $n>98$

Ora non capisco bene l'ultimo passaggio. Perché per calcolare l'integrale con un certo errore ho scritto $|R_n|<=1/(n+2)^2$ ?

L'esercizio che ho riportato è preso da una spiegazione in aula.

Grazie in anticipo

[dissonance]

E' il criterio di Leibnitz per la convergenza delle serie di segno alterno. Il primo termine che trascuri maggiora l'errore che stai commettendo.

[fbcyborg]

Scusa ma non mi è poi così tanto chiaro.
Il criterio di convergenza delle serie di Leibniz a segno alterno le conosco, però non mi torna il metodo per scrivere la relazione:
$|R_n|<=1/(n+2)^2$
All'atto pratico come si fa?

Possibile che la soluzione sia prendere $a_{n+1}$ e minorarlo con l'errore?

[dissonance]

"fbcyborg":
Possibile che la soluzione sia prendere $a_{n+1}$ e minorarlo con l'errore?

Certo.
Teorema (Criterio di Leibnitz): Sia $a_n$ una successione positiva, decrescente e infinitesima. Allora $sum(-1)^na_n$ converge, e per ogni $n$ vale la stima $|R_n|=|sum_{n=0}^infty(-1)^na_n-sum_{k=0}^n(-1)^ka_k|<=|a_{n+1}|$.

Non ti riscrivo la dimostrazione, puoi trovarla su un qualunque testo e poi non è centrale per questo topic.

[fbcyborg]

Ok! Ti ringrazio! Per me è già sufficiente sapere come si procede all'atto pratico.

Grazie ancora.