[RISOLTO] Calcolo di una primitiva

[Gold D Roger]

$omega=(3x^2 y + xy^2 +2)dx + (x^3+x^2y-1)dy$ con codominio $mathbb(R)$, stabilire se se $omega$ è esatta.

Per stabilire se è esatta devo cercare se esiste una funzione $U$ primitiva di $omega$:

fisso $y$ e cerco $U(x,y)$ $ text{tale che}$ $U_x (x,y)=3x^2 y + xy^2 +2$ pertanto

$int (3x^2 y + xy^2 +2)dx=x^3 y + (x^2)/(2)y^2 +2x+c(y)$

inoltre $U$ deve essere derivabile rispetto a $y$ e devo avere $U_y (x,y)=x^3+x^2y-1$

quindi $c(y)$ deve essere derivabile e $U_y (x,y)=x^3+x^2y+c'(y)=U_y (x,y)=x^3+x^2y-1$

allora $c'(y)=-1$ pertanto $c(y)=-y+c$.

Conclusione dello svolgimento: tale funzione $U$ esiste e si ha $U(x,y)=x^3 y + (x^2)/(2)y^2 +2x-y+c; (c in mathbb(R))$

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Non riesco a ricordare per quale motivo presi $x^3+x^2y-1$ e al posto del termine noto $-1$ vi sostituì $y(c)$, cioè che ragionamento c'è dietro per avere che $U(x,y)$ sia derivabile anche rispetto a $y$?.

[Gold D Roger]

Risolto, posto la soluzione caso mai dovesse servire a qualcuno:

Bastava derivare rispetto a $y$ il risultato ottenuto dall'integrale

$(x^3 y + (x^2)/(2)y^2 +2x+c(y))dy=x^3+y x^2 + c'(y)$

e porre $x^3+y x^2 + c'(y)=x^3+x^2y-1$

che viene $c'(y)=-1$ ossia $c(y)=-y$.