[RISOLTO] Calcolo del flusso : dubbi sul teorema della divergenza
Salve a tutti,
sto affrontando il calcolo dei flussi, e il mio problema è che più vado avanti nello studio degli esercizi più sto iniziando a incartarmi col procedimento, anzichè diminuire i dubbi tendono ad aumentare.
Sostanzialmente ho compreso che esistono, all'atto pratico, tra modalità di risoluzione per il calcolo dei flussi.
Formula convenzionale.
$ oint_(D) (F(x,y,z)\cdot n )ds $
Teorema della Divergenza
$ int int int_(V) DIVF dx dy dz $
Formula di Stokes
$ int int_(S) (rotF\cdot n )ds $
Il dubbio avanza quando ho a che fare con il teorema della divergenza.
Due esempi facili facili.
1) $ F(x,y,z)=(x,y,-z) $ attraverso la superficie descritta dal grafico $ D=((x,y,z);z= sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2<=1 ) $ orientata verso l'alto.
Con il teorema della divergenza mi calcolo la divergenza del C.V, dato dalla somma delle derivate parziali
$ Fx+Fy+Fz=3 $
Adesso devo definire le nuove coordinate su cui stabilire gli intervalli di integrazione dell'integrale di Volume.
Passo alle coordinate polari.
E qui sta il primo dubbio.
$ { ( x=rcos(t) ),(y =rsen(t)),( z=h ):} $
Con r che varia tra 0 e 1 e t che varia tra 0 e $ 2pi $ .
Mi manca di definire l'intervallo di z.
Vado a sostituire le nuove coordinate nel Dominio e avrò
$ ( D'={(r, t, h):h=sqrt(r^2cos^2(t)+r^2sen^2(t))=+-r; r^2cos^2(t)+r^2sen^2(t)<=1 ->r<=+-1} $
Mi calcolo il Jacobiano (r) e a questo punto l'integrale sarà
$ int _(0)^(2pi )dt int_(0)^(1)dr int_(-1)^(1) r dh $
E' corretto?
2) $ F(x,y,z)=(xy+1,z+y^2,z) $ attraverso la superficie $ D=((u+v, u^2-v^2, u-v ) $ con $ u in [0,2], vin [-1,1] $ orientata nel verso delle y crescenti.
In questo caso potrei utilizzare il metodo convenzionale.
Dovrei calcolare il C.V. nelle nuove coordinate definite dalla superficie, il vettore normale, ma arrivato al prodotto scalare viene fuori un'espressione di quarto grado parecchio articolata, il che mi fa pensare che non sia la strada giusta e dovrei semplificare il tutto applicando il teorema della divergenza.
Ma in questo caso non capisco in quali coordinate dovrei passarla.
Qualche aiuto?
Grazie in anticipo
sto affrontando il calcolo dei flussi, e il mio problema è che più vado avanti nello studio degli esercizi più sto iniziando a incartarmi col procedimento, anzichè diminuire i dubbi tendono ad aumentare.
Sostanzialmente ho compreso che esistono, all'atto pratico, tra modalità di risoluzione per il calcolo dei flussi.
Formula convenzionale.
$ oint_(D) (F(x,y,z)\cdot n )ds $
Teorema della Divergenza
$ int int int_(V) DIVF dx dy dz $
Formula di Stokes
$ int int_(S) (rotF\cdot n )ds $
Il dubbio avanza quando ho a che fare con il teorema della divergenza.
Due esempi facili facili.
1) $ F(x,y,z)=(x,y,-z) $ attraverso la superficie descritta dal grafico $ D=((x,y,z);z= sqrt(x^2+y^2), x^2+y^2<=1 ) $ orientata verso l'alto.
Con il teorema della divergenza mi calcolo la divergenza del C.V, dato dalla somma delle derivate parziali
$ Fx+Fy+Fz=3 $
Adesso devo definire le nuove coordinate su cui stabilire gli intervalli di integrazione dell'integrale di Volume.
Passo alle coordinate polari.
E qui sta il primo dubbio.
$ { ( x=rcos(t) ),(y =rsen(t)),( z=h ):} $
Con r che varia tra 0 e 1 e t che varia tra 0 e $ 2pi $ .
Mi manca di definire l'intervallo di z.
Vado a sostituire le nuove coordinate nel Dominio e avrò
$ ( D'={(r, t, h):h=sqrt(r^2cos^2(t)+r^2sen^2(t))=+-r; r^2cos^2(t)+r^2sen^2(t)<=1 ->r<=+-1} $
Mi calcolo il Jacobiano (r) e a questo punto l'integrale sarà
$ int _(0)^(2pi )dt int_(0)^(1)dr int_(-1)^(1) r dh $
E' corretto?
2) $ F(x,y,z)=(xy+1,z+y^2,z) $ attraverso la superficie $ D=((u+v, u^2-v^2, u-v ) $ con $ u in [0,2], vin [-1,1] $ orientata nel verso delle y crescenti.
In questo caso potrei utilizzare il metodo convenzionale.
Dovrei calcolare il C.V. nelle nuove coordinate definite dalla superficie, il vettore normale, ma arrivato al prodotto scalare viene fuori un'espressione di quarto grado parecchio articolata, il che mi fa pensare che non sia la strada giusta e dovrei semplificare il tutto applicando il teorema della divergenza.
Ma in questo caso non capisco in quali coordinate dovrei passarla.
Qualche aiuto?
Grazie in anticipo
Risposte
Grazie per la risposta, mi scuso per il ritardo, ma forse son scemo e non riesco a comprendere a fondo questa tipologia di esercizi, nonostante ci stia sbattendo la testa da settimane.
1) Per quanto riguarda l'utilizzo della definizione, quindi, mi devo attenere al calcolo del flusso uscente dalla superficie conica... quindi l'intervallo di convergenza è $ int_( 0)^(1) drho int_( 0)^(2pi )dvartheta $ sostituisco al campo vettoriale le coordinate nella forma parametrizzata e calcolo il vettore normale...
In questo caso, però, questo è orientato in senso opposto rispetto al flusso, o no?
In ogni caso, prima di calcolare l'integrale, calcolo il prodotto scalare
$ (rho costheta, rhosentheta,-rho)\cdot (rhocostheta,rhosentheta,rho)=0 $
Com'è possibile?
Il calcolo del flusso sulla faccia circolare in questo caso non dovrei farlo?
Non capisco come fai a dire che il flusso richiesto sia orientato verso l'alto.
2) Per quanto riguarda il calcolo con il teorema della divergenza, invece, sembra che debba considerare il flusso del volume risultante come somma di quello relativo alla superficie conica e quello della superficie circolare.
Quindi devo calcolare calcolare l'integrale triplo $ int int int DIV F dx dy dz $ e ad esso sottrarre l'integrale $ int int F(S(rho, theta)) drho d theta $ , giusto?
Ok, per quanto riguarda l'integrale triplo, calcolare la divergenza è facile (è data dalla somma delle derivate parziali di F(x,y,-z), mentre quel che non riesco a capire è cosa devo andare a mettere al posto di $dx dy dz $ .
Potrei sostituire le coordinate parametriche e inserire il determinante jacobiano, ma se ho $ z=rho,rhoin[0,1],thetain[0,2pi] $ come faccio a capire dove varia il terzo integrale, relativo a $dz$?
Per l'integrale doppio invece mi attengo alla definizione utilizzando stavolta le coordinate del cerchio, giusto?
1) Per quanto riguarda l'utilizzo della definizione, quindi, mi devo attenere al calcolo del flusso uscente dalla superficie conica... quindi l'intervallo di convergenza è $ int_( 0)^(1) drho int_( 0)^(2pi )dvartheta $ sostituisco al campo vettoriale le coordinate nella forma parametrizzata e calcolo il vettore normale...
In questo caso, però, questo è orientato in senso opposto rispetto al flusso, o no?
In ogni caso, prima di calcolare l'integrale, calcolo il prodotto scalare
$ (rho costheta, rhosentheta,-rho)\cdot (rhocostheta,rhosentheta,rho)=0 $
Com'è possibile?
Il calcolo del flusso sulla faccia circolare in questo caso non dovrei farlo?
Non capisco come fai a dire che il flusso richiesto sia orientato verso l'alto.
2) Per quanto riguarda il calcolo con il teorema della divergenza, invece, sembra che debba considerare il flusso del volume risultante come somma di quello relativo alla superficie conica e quello della superficie circolare.
Quindi devo calcolare calcolare l'integrale triplo $ int int int DIV F dx dy dz $ e ad esso sottrarre l'integrale $ int int F(S(rho, theta)) drho d theta $ , giusto?
Ok, per quanto riguarda l'integrale triplo, calcolare la divergenza è facile (è data dalla somma delle derivate parziali di F(x,y,-z), mentre quel che non riesco a capire è cosa devo andare a mettere al posto di $dx dy dz $ .
Potrei sostituire le coordinate parametriche e inserire il determinante jacobiano, ma se ho $ z=rho,rhoin[0,1],thetain[0,2pi] $ come faccio a capire dove varia il terzo integrale, relativo a $dz$?
Per l'integrale doppio invece mi attengo alla definizione utilizzando stavolta le coordinate del cerchio, giusto?
"NapoNiubbo":
In ogni caso, prima di calcolare l'integrale, calcolo il prodotto scalare
$ (rho costheta, rhosentheta,-rho)\cdot (rhocostheta,rhosentheta,rho)=0 $
Com'è possibile?
Hai sbagliato qualche conto, in quanto le prime due componenti del vettore normale hanno segno negativo.
Vediamo se è corretto
Dunque ho $ | ( cos(theta) , sen(theta) , 1 ),( -rhosen(theta) , rhocos(theta) , 0 ) | $
Che è uguale a $ ( -rhocos(theta) , -rhosen(theta) , rho ) $
Cambio segno e ottengo come risultato $2rho^2$
Risultato finale è quindi $ 4/3pi $
Lascia perdere sto benedetto flusso e ragiona sulla normale alla superficie che è quella che "decide" tutto.
Il testo del problema richiede che tale vettore sia rivolto verso l'alto e in base alla superficie in questione
(bisogna disegnarla per capire, altrimenti difficilmente capirai a fondo) questo implica che tale vettore
punti verso l'interno del solido che racchiude tale superficie e quindi da ciò discende il fatto che si andrà
a calcolare un flusso entrante.
Insomma, io mi devo immaginare una superficie, la cui normale è ovviamente rivolta verso l'esterno, racchiusa da un solido, una specie di "involucro".
E il fatto che la normale sia rivolta verso l'esterno, la fa "puntare" (scusa il termine improprio) verso il lato interno del solido.
E' giusto?
"NapoNiubbo":
Per quanto riguarda il calcolo con il teorema della divergenza, invece, sembra che debba considerare il flusso del volume risultante come somma di quello relativo alla superficie conica e quello della superficie circolare.
Se al posto di volume avessi scritto solido, la frase sarebbe stata perfetta. Premesso ciò,
che dire, è esattamente quanto prescrivere il teorema della divergenza, né più, né meno.
"NapoNiubbo":
Quindi devo calcolare calcolare l'integrale triplo $ int int int DIV F dx dy dz $ e ad esso sottrarre l'integrale $ int int F(S(rho, theta)) drho d theta $ , giusto?
Giusto!!
"NapoNiubbo":
Ok, per quanto riguarda l'integrale triplo, calcolare la divergenza è facile (è data dalla somma delle derivate parziali di F(x,y,z)
Ok.
"NapoNiubbo":
mentre quel che non riesco a capire è cosa devo andare a mettere al posto di $dx dy dz $ .
Potrei sostituire le coordinate parametriche e inserire il determinante jacobiano, ma se ho $ z=rho,rhoin[0,1],thetain[0,2pi] $ come faccio a capire dove varia il terzo integrale, relativo a $dz$?
Stai molto attento che in questo ambito non stai ad integrare sulla superficie conica, bensì sul solido \(\Omega\).
Passando molto banalmente in coordinate cilindriche di asse \(z\), si ha che \(\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z = \rho\,\text{d}\rho\,\text{d}\theta\,\text{d}z\).
Non riesco a capire, il solido non ha le stesse coordinate cilindriche della superficie conica?
Quel rho da dove viene fuori (mi sembra tanto un determinante Jacobiano)?
[/quote]"NapoNiubbo":
Per l'integrale doppio invece mi attengo alla definizione utilizzando stavolta le coordinate del cerchio, giusto?
Sì. Ti faccio comunque presente che essendo una superficie piana di equazione cartesiana \(0\,x + 0\,y + z = 1\), il vettore normale è banalmente \(\mathbf{N}_S = (0,\,0,\,1)\).
Perchè l'ultima componente del vettore è 1 e non $rho$?
Vediamo se ho capito bene, tanto nello schema della definizione quanto in quello della divergenza il flusso che mi interessa è quello del solido.
In entrambi i casi quindi lo otterrò come somma del flusso della superficie conica con quella piana circolare.
Seguendo la definizione, io mi sono calcolato il flusso della superficie conica, poi il flusso della superficie piana circolare e sommando i due flussi ottengo il flusso che mi interessa.
Nel primo caso ho ottenuto \[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) := \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A \mathbf{F}(\mathbf{r}(\rho,\,\theta)) \cdot \underbrace{\left( \mathbf{r}_{\rho}(\rho,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\rho,\,\theta) \right)}_{con \; 3° \; comp. \; non \; positiva}\,\text{d}\rho\,\text{d}\theta = 4/3π \dots \]
Nel secondo caso il flusso della superficie circolare è dato da
\[ \Phi_{\S}(\mathbf{F}) := \iint\limits_{\S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\S}\,\text{d}\sigma = \dots \]
$ int int_(S) (rhocostheta,rhosentheta,-1)\cdot (0,0,rho)drho dvartheta = $
$ int_ (0)^(1)int_(0)^(2pi) (rho^2(sentheta-costheta)drho dvartheta = -2/3 $
L'unione sarà quindi una differenza, in realtà?
Con il teorema della divergenza, invece,
\[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) + \iint\limits_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_S\,\text{d}s = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F}\,\text{d}\omega = \dots \]
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) int_(rho )^(1) (1\cdot rho) drhodvarthetadz =pi/3 $
(Il terzo intervallo di integrazione l'ho ottenuto sostituendo a $ z=sqrt(x^2+y^2) $ le coordinate cilindriche di x e y)
Ad esso dovrei sommare sempre il valore del flusso della superficie circolare
\[ \Phi_{\S}(\mathbf{F}) := \dots \]
Però mi trovo in questo caso un valore diverso da quanto calcolato nel primo caso!
Dove ho sbagliato, nella prima procedura, o nella seconda?
In entrambi i casi quindi lo otterrò come somma del flusso della superficie conica con quella piana circolare.
Seguendo la definizione, io mi sono calcolato il flusso della superficie conica, poi il flusso della superficie piana circolare e sommando i due flussi ottengo il flusso che mi interessa.
Nel primo caso ho ottenuto \[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) := \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\Sigma}\,\text{d}\sigma = \iint\limits_A \mathbf{F}(\mathbf{r}(\rho,\,\theta)) \cdot \underbrace{\left( \mathbf{r}_{\rho}(\rho,\,\theta) \land \mathbf{r}_{\theta}(\rho,\,\theta) \right)}_{con \; 3° \; comp. \; non \; positiva}\,\text{d}\rho\,\text{d}\theta = 4/3π \dots \]
Nel secondo caso il flusso della superficie circolare è dato da
\[ \Phi_{\S}(\mathbf{F}) := \iint\limits_{\S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\S}\,\text{d}\sigma = \dots \]
$ int int_(S) (rhocostheta,rhosentheta,-1)\cdot (0,0,rho)drho dvartheta = $
$ int_ (0)^(1)int_(0)^(2pi) (rho^2(sentheta-costheta)drho dvartheta = -2/3 $
L'unione sarà quindi una differenza, in realtà?
Con il teorema della divergenza, invece,
\[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) + \iint\limits_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_S\,\text{d}s = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F}\,\text{d}\omega = \dots \]
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) int_(rho )^(1) (1\cdot rho) drhodvarthetadz =pi/3 $
(Il terzo intervallo di integrazione l'ho ottenuto sostituendo a $ z=sqrt(x^2+y^2) $ le coordinate cilindriche di x e y)
Ad esso dovrei sommare sempre il valore del flusso della superficie circolare
\[ \Phi_{\S}(\mathbf{F}) := \dots \]
Però mi trovo in questo caso un valore diverso da quanto calcolato nel primo caso!
Dove ho sbagliato, nella prima procedura, o nella seconda?
Finalmente, adesso mi è chiara la differenza tra i due procedimenti.
Dopo provo a testare il secondo tipo di esercizio.
Ti ringrazio per la infinita pazienza.
Dopo provo a testare il secondo tipo di esercizio.
Ti ringrazio per la infinita pazienza.
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