[risolto] Andamento di una funzione $\Gamma$
Ciao avevo postato inizialmente in statistica ma credo che il posto più adatto sia questo, stavo facendo dei ragionamenti su come possa variare il v.a. di una variabile che segue una Weibull. Sapendo che i valore atteso è:
[tex]$ \lambda\Gamma\biggl(1+\frac{1}{k}\biggl) = \lambda \int_0^\infty u^{\frac{1}{k}} e^{-u} du$[/tex]
stavo notando che quando $k>1$ questo v.a. non può mai essere superiore di $\lambda$, il che equivale a dire che:
[tex]$ \int_0^\infty u^{\frac{1}{k}} e^{-u} du < 1 $[/tex] per ogni $k>1$
Ma c'è un modo "semplice" per dimostrarlo?
[tex]$ \lambda\Gamma\biggl(1+\frac{1}{k}\biggl) = \lambda \int_0^\infty u^{\frac{1}{k}} e^{-u} du$[/tex]
stavo notando che quando $k>1$ questo v.a. non può mai essere superiore di $\lambda$, il che equivale a dire che:
[tex]$ \int_0^\infty u^{\frac{1}{k}} e^{-u} du < 1 $[/tex] per ogni $k>1$
Ma c'è un modo "semplice" per dimostrarlo?
Risposte
Basta fare il solito "conticino del salumiere"... 
Detta \(f(k)\) la funzione composta dalla gamma e da \(1+1/k\), derivando si ottiene:
\[
f^\prime (k)=- \frac{1}{k^2}\ \Gamma^\prime \left( 1+\frac{1}{k}\right)
\]
che è maggiore di zero, perché \(\Gamma^\prime (x)<0\) per \(0
f(k)< \lim_{k\to \infty} f(k) = \Gamma (1) =0!=1\; .
\]
Detta \(f(k)\) la funzione composta dalla gamma e da \(1+1/k\), derivando si ottiene:
\[
f^\prime (k)=- \frac{1}{k^2}\ \Gamma^\prime \left( 1+\frac{1}{k}\right)
\]
che è maggiore di zero, perché \(\Gamma^\prime (x)<0\) per \(0
f(k)< \lim_{k\to \infty} f(k) = \Gamma (1) =0!=1\; .
\]
Ciao Gugo82! Grazie per la risposta ma, non essendo un "salumiere" troppo avvezzo, non ho ben capito 
ok la derivata:
\[
f^\prime (k)=- \frac{1}{k^2}\ \Gamma^\prime \left( 1+\frac{1}{k}\right)
\]
doporiché se \(\Gamma^\prime (x)<0\) per \(0 1 \)...
Infine non mi è chiaro l'ultimo passaggio: se dimostro che il limite della funzione ad infinito tende ad 1 non ho garanzie sul fatto che sia il suo limite superiore.
Scusate non ho capito...
Ciao
ok la derivata:
\[
f^\prime (k)=- \frac{1}{k^2}\ \Gamma^\prime \left( 1+\frac{1}{k}\right)
\]
doporiché se \(\Gamma^\prime (x)<0\) per \(0
Infine non mi è chiaro l'ultimo passaggio: se dimostro che il limite della funzione ad infinito tende ad 1 non ho garanzie sul fatto che sia il suo limite superiore.
Scusate non ho capito...
Ciao
Chiaramente ho sbagliato a scrivere...
Era \(0
Era \(0
Tranquillo : ) ci mancherebbe!
Ok, quindi io so che la \( \Gamma(x) \) decresce tra $0$ e $x_0$ per cui sarà sempre decrescete per $1 2.17$.
Però mi manca ancora un passaggio: come faccio a dire che non può mai assumere valori maggiori di $1$? Alla fine non credo di aver dimostrato il contrario...credo...
Grazie ancora
Ok, quindi io so che la \( \Gamma(x) \) decresce tra $0$ e $x_0$ per cui sarà sempre decrescete per $1
Però mi manca ancora un passaggio: come faccio a dire che non può mai assumere valori maggiori di $1$? Alla fine non credo di aver dimostrato il contrario...credo...
Grazie ancora
Allora, abbiamo stabilito che \(\Gamma (x)\) è positiva e strettamente decrescente in \(]0,x_0]\) con \(x_0\approx 1.46163\).
Dato che la funzione \(x(k):=1+\frac{1}{k}\) è strettamente decrescente per \(k>0\), essa risulta strettamente decrescente a fortiori anche per \(k\geq k_0:=\frac{1}{x_0-1}\approx 2.1662\) (di modo che \(x(k)\in ]0,x_0]\)).
Ne consegue che la funzione composta \(f(k)=\Gamma (x(k))=\Gamma (1+\frac{1}{k})\) è strettamente crescente per \(k\geq k_0\) (basta fare il conticino, anche senza usare le derivate, perchè hai una composizione di funzioni monotone).
La stretta crescenza ti assicura che:
\[
\forall k\geq k_0,\quad f(k)<\sup_{[k_0,+\infty[} f \; ;
\]
ma, d'altra parte, per il teorema di regolarità delle funzioni monotone, sai che:
\[
\begin{split}
\sup_{[k_0,+\infty[} f &= \lim_{k\to +\infty} f(k)\\
&= \lim_{k\to +\infty} \Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right) \\
&= \Gamma (1)\\
&= 0!\\
&=1\; ;
\end{split}
\]
perciò hai \(f(k)<1\) per ogni \(k\geq k_0\).
Dato che la funzione \(x(k):=1+\frac{1}{k}\) è strettamente decrescente per \(k>0\), essa risulta strettamente decrescente a fortiori anche per \(k\geq k_0:=\frac{1}{x_0-1}\approx 2.1662\) (di modo che \(x(k)\in ]0,x_0]\)).
Ne consegue che la funzione composta \(f(k)=\Gamma (x(k))=\Gamma (1+\frac{1}{k})\) è strettamente crescente per \(k\geq k_0\) (basta fare il conticino, anche senza usare le derivate, perchè hai una composizione di funzioni monotone).
La stretta crescenza ti assicura che:
\[
\forall k\geq k_0,\quad f(k)<\sup_{[k_0,+\infty[} f \; ;
\]
ma, d'altra parte, per il teorema di regolarità delle funzioni monotone, sai che:
\[
\begin{split}
\sup_{[k_0,+\infty[} f &= \lim_{k\to +\infty} f(k)\\
&= \lim_{k\to +\infty} \Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right) \\
&= \Gamma (1)\\
&= 0!\\
&=1\; ;
\end{split}
\]
perciò hai \(f(k)<1\) per ogni \(k\geq k_0\).
Ok!!!!! Grandissimo grazie : )
Direi che ci siamo, unica cosa:
lo si sa per definizione della funzione speciale, si sa che il minimo è in $x_0$ immagino?
Stavo provando a disegnarla ma mi sembra che :
[tex]\Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right)[/tex]
sia minore di 1 anche per $1
Direi che ci siamo, unica cosa:
\(\Gamma (x)\) è positiva e strettamente decrescente in \(]0,x_0]\) con \(x_0\approx 1.46163\)
lo si sa per definizione della funzione speciale, si sa che il minimo è in $x_0$ immagino?
Stavo provando a disegnarla ma mi sembra che :
[tex]\Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right)[/tex]
sia minore di 1 anche per $1
Si, è così.
Infatti, \(\Gamma (x)<1\) per \(x_0\leq x<2\), quindi \(\Gamma (1+1/k)<1\) pure per \(1
Per quanto riguarda il minimo, nota che la \(\Gamma\) è una funzione convessa in \(]0,+\infty[\): invero, fissati \(\lambda \in [0,1]\) ed \(x,y\in ]0,+\infty[\), si ha:
\[
\begin{split}
\Gamma (\lambda x+(1-\lambda)y) &= \int_0^\infty t^{\lambda x+(1-\lambda)y-1}\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\infty t^{\lambda (x-1)+(1-\lambda)(y-1)}\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&\leq \int_0^\infty \left( \lambda\ t^{x-1}+(1-\lambda)\ t^{y-1}\right)\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \lambda\ \Gamma (x)+(1-\lambda)\ \Gamma (y)
\end{split}
\]
ove la disuguaglianza \(\leq \) è giustificata dal fatto che l'esponenziale \(\mathbb{R} \ni z\mapsto t^z\in ]0,+\infty[\) è una funzione convessa per ogni fissata base \(t>0\).
Ne viene che ogni punto stazionario di \(\Gamma \) è un punto di minimo assoluto per \(\Gamma\) in \(]0,+\infty[\).
D'altra parte, si ha:
\[
\Gamma^\prime (x) = \int_0^\infty \ln t\ t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t
\]
ed è noto (credo da due centinaia d'anni) che:
\[
\begin{split}
\Gamma^\prime (1) &=-\gamma \approx -0.57722 <0\\
\Gamma^\prime (2) &=1-\gamma \approx 0.42278 >0
\end{split}
\]
(qui \(\gamma\) è la costante di Eulero-Mascheroni); pertanto per il teorema degli zeri esiste almeno un punto \(x_0\in ]1,2[\) tale che \(\Gamma^\prime (x_0)=0\). Per quanto detto sopra \(x_0\) è un punto di minimo assoluto per \(\Gamma\).
Esso è unico, perchè, derivando ancora una volta:
\[
\Gamma^{\prime \prime} (x) = \int_0^\infty \ln^2 t\ t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t >0
\]
quindi \(\Gamma \) è addirittura strettamente convessa in \(]0,+\infty[\), quindi deve necessariamente avere un unico punto di minimo.
Infatti, \(\Gamma (x)<1\) per \(x_0\leq x<2\), quindi \(\Gamma (1+1/k)<1\) pure per \(1
Per quanto riguarda il minimo, nota che la \(\Gamma\) è una funzione convessa in \(]0,+\infty[\): invero, fissati \(\lambda \in [0,1]\) ed \(x,y\in ]0,+\infty[\), si ha:
\[
\begin{split}
\Gamma (\lambda x+(1-\lambda)y) &= \int_0^\infty t^{\lambda x+(1-\lambda)y-1}\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\infty t^{\lambda (x-1)+(1-\lambda)(y-1)}\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&\leq \int_0^\infty \left( \lambda\ t^{x-1}+(1-\lambda)\ t^{y-1}\right)\ e^{-t}\ \text{d} t\\
&= \lambda\ \Gamma (x)+(1-\lambda)\ \Gamma (y)
\end{split}
\]
ove la disuguaglianza \(\leq \) è giustificata dal fatto che l'esponenziale \(\mathbb{R} \ni z\mapsto t^z\in ]0,+\infty[\) è una funzione convessa per ogni fissata base \(t>0\).
Ne viene che ogni punto stazionario di \(\Gamma \) è un punto di minimo assoluto per \(\Gamma\) in \(]0,+\infty[\).
D'altra parte, si ha:
\[
\Gamma^\prime (x) = \int_0^\infty \ln t\ t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t
\]
ed è noto (credo da due centinaia d'anni) che:
\[
\begin{split}
\Gamma^\prime (1) &=-\gamma \approx -0.57722 <0\\
\Gamma^\prime (2) &=1-\gamma \approx 0.42278 >0
\end{split}
\]
(qui \(\gamma\) è la costante di Eulero-Mascheroni); pertanto per il teorema degli zeri esiste almeno un punto \(x_0\in ]1,2[\) tale che \(\Gamma^\prime (x_0)=0\). Per quanto detto sopra \(x_0\) è un punto di minimo assoluto per \(\Gamma\).
Esso è unico, perchè, derivando ancora una volta:
\[
\Gamma^{\prime \prime} (x) = \int_0^\infty \ln^2 t\ t^{x-1}\ e^{-t}\ \text{d} t >0
\]
quindi \(\Gamma \) è addirittura strettamente convessa in \(]0,+\infty[\), quindi deve necessariamente avere un unico punto di minimo.
Ottimo! Allora, osservando che la funzione è convessa in $[1,+\infty[$ potrei semplicemente fare così (credo):
\[
\begin{split}
\sup_{[1,+\infty[} f &= \lim_{k\to +\infty} f(k)\\
&= \lim_{k\to +\infty} \Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right) \\
&= \Gamma (1)\\
&= 0!\\
&=1\; ;
\end{split}
\]
e
\[
\begin{split}
\inf_{[1,+\infty[} f &= \lim_{k\to 1} f(k)\\
&= \lim_{k\to 1} \Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right) \\
&= \Gamma (2)\\
&= 1!\\
&=1.
\end{split}
\]
così posso notare che la funzione non può mai superare $1$, nell'intervallo $[1,+\infty[$
\[
\begin{split}
\sup_{[1,+\infty[} f &= \lim_{k\to +\infty} f(k)\\
&= \lim_{k\to +\infty} \Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right) \\
&= \Gamma (1)\\
&= 0!\\
&=1\; ;
\end{split}
\]
e
\[
\begin{split}
\inf_{[1,+\infty[} f &= \lim_{k\to 1} f(k)\\
&= \lim_{k\to 1} \Gamma \left( 1+\frac{1}{k}\right) \\
&= \Gamma (2)\\
&= 1!\\
&=1.
\end{split}
\]
così posso notare che la funzione non può mai superare $1$, nell'intervallo $[1,+\infty[$
Ma anche no.
Che c'entra la convessità con \(\inf_{[1,+\infty[} f=\lim_{k\to 1^+} f(k)\)?
Questa uguaglianza sarebbe vera se \(f\) fosse strettamente monotona in \([1,\infty[\); ma abbiamo visto che così non è, ed infatti \(\inf_{[1,+\infty[} f = f(k_0) \approx 0.886503 < 1=\lim_{k\to 1^+} f(k)\).
Tra l'altro, se fosse \(\inf_{[1,+\infty[} f =1=\sup_{[1,+\infty[} f\), avresti \(f(k)=1\) ovunque, il che sarebbe un po' strano, non trovi?
Che c'entra la convessità con \(\inf_{[1,+\infty[} f=\lim_{k\to 1^+} f(k)\)?
Questa uguaglianza sarebbe vera se \(f\) fosse strettamente monotona in \([1,\infty[\); ma abbiamo visto che così non è, ed infatti \(\inf_{[1,+\infty[} f = f(k_0) \approx 0.886503 < 1=\lim_{k\to 1^+} f(k)\).
Tra l'altro, se fosse \(\inf_{[1,+\infty[} f =1=\sup_{[1,+\infty[} f\), avresti \(f(k)=1\) ovunque, il che sarebbe un po' strano, non trovi?
Uhm, ok. Intanto ti ringrazio davvero moltissimo per la tua disponibilità 
, mi riguardo con calma il tutto così evito altre gaffes
, mi riguardo con calma il tutto così evito altre gaffes
Ok, dovrei esserci. Provo a ricapitolare in questo modo.
Devo verificare che:
[tex]$ \lambda\Gamma\biggl(1+\frac{1}{k}\biggl)< \lambda $[/tex] per $k>1$, dato che \( \lambda > 0 \) questo equivale a dire che:
[tex]$f(k) = \Gamma\biggl(1+\frac{1}{k}\biggl)< 1 $[/tex] per $k>1$.
Se guardo la derivata prima:
\[
f^\prime (k)=- \frac{1}{k^2}\ \Gamma^\prime \left( 1+\frac{1}{k}\right)
\]
dal momento che \( \Gamma^\prime(x) < 0 \) per \( 0
[tex]$f^\prime (k)<0 $[/tex] per [tex]$ 1 < k < k_0 \approx 2.1662$[/tex]
[tex]$f^\prime (k)=0 $[/tex] per [tex]$ k = k_0 $[/tex]
[tex]$f^\prime (k)>0 $[/tex] per [tex]$ k > k_0$[/tex]
Quindi \( f(k) \) è strettamente decrescente per \( 1 < k < k_0 \) e strettamente crescente per \( k \geq k_0 \).
A questo punto potrei verificare l'ipotesi dicendo che nel tratto strettamente decrescente:
\[
\quad f(k)<\sup_{]1,k_0[} f = 1 \; ;
\]
mentre in quello strettamente crescente:
\[
\quad f(k)<\sup_{[k_0,+\infty[} f = 1
\]
Potrebbe andare, credo...
Devo verificare che:
[tex]$ \lambda\Gamma\biggl(1+\frac{1}{k}\biggl)< \lambda $[/tex] per $k>1$, dato che \( \lambda > 0 \) questo equivale a dire che:
[tex]$f(k) = \Gamma\biggl(1+\frac{1}{k}\biggl)< 1 $[/tex] per $k>1$.
Se guardo la derivata prima:
\[
f^\prime (k)=- \frac{1}{k^2}\ \Gamma^\prime \left( 1+\frac{1}{k}\right)
\]
dal momento che \( \Gamma^\prime(x) < 0 \) per \( 0
[tex]$f^\prime (k)<0 $[/tex] per [tex]$ 1 < k < k_0 \approx 2.1662$[/tex]
[tex]$f^\prime (k)=0 $[/tex] per [tex]$ k = k_0 $[/tex]
[tex]$f^\prime (k)>0 $[/tex] per [tex]$ k > k_0$[/tex]
Quindi \( f(k) \) è strettamente decrescente per \( 1 < k < k_0 \) e strettamente crescente per \( k \geq k_0 \).
A questo punto potrei verificare l'ipotesi dicendo che nel tratto strettamente decrescente:
\[
\quad f(k)<\sup_{]1,k_0[} f = 1 \; ;
\]
mentre in quello strettamente crescente:
\[
\quad f(k)<\sup_{[k_0,+\infty[} f = 1
\]
Potrebbe andare, credo...
Certo che va! 
...e andiamo!!!
ps: ti devo una birra
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