[risolta]serie e somma
$\sum_{n=1}^infty 5*(1/3)^(n-1)$
Calcolo il limite:
$lim_(n->infty) 5*(1/3)^(n-1)$
e mi da $0$ --> la serie CONVERGE!
Ora trovo la ragione 'r' così:
$a^k/(a^(k-1))$ --> risultato $1/3$
(dove $a=5*(1/3)^(n-1)$)
Ora devo trovare la somma...ma non ho capito come si fa!
Ho trovato questa formula:
$S=r/(1-r)$
Ma così il risultato è 1/2 e deve venire 15/2 O.o
Calcolo il limite:
$lim_(n->infty) 5*(1/3)^(n-1)$
e mi da $0$ --> la serie CONVERGE!
Ora trovo la ragione 'r' così:
$a^k/(a^(k-1))$ --> risultato $1/3$
(dove $a=5*(1/3)^(n-1)$)
Ora devo trovare la somma...ma non ho capito come si fa!
Ho trovato questa formula:
$S=r/(1-r)$
Ma così il risultato è 1/2 e deve venire 15/2 O.o
Risposte
"pol20":
$lim_(n->infty) 5*(1/3)^(n-1)$
e mi da $0$ --> la serie CONVERGE!
Se il limite all'infinito dà $0$ non vuol dire che la serie converge.
Ad esempio $sum_(n=1)^(+oo)1/n$ è una serie non convergente, pur avendo $lim_(n->+oo) 1/n=0$
xD
allora non ho capito proprio niente delle serie! -.-''
allora non ho capito proprio niente delle serie! -.-''
Per comodità, io riscriverei tutto così:
$sum_(n=1)^(+oo) 5*(1/3)^(n-1)= 5*sum_(n=1)^(+oo)(1/3)^(n-1)=5*sum_(m=0)^(+oo)(1/3)^m$
Per vedere se questa serie converge si sfrutta il criterio del rapporto
In generale (ricordatelo per il futuro), ogni volta che hai una serie di questo tipo : $sum_(n=0)^(+oo)x^n$, con $x in RR$
la serie converge se $|x|<1$ (come nel nosto caso), e vale $1/(1-x)$
la serie non converge se $|x|>=1$
$sum_(n=1)^(+oo) 5*(1/3)^(n-1)= 5*sum_(n=1)^(+oo)(1/3)^(n-1)=5*sum_(m=0)^(+oo)(1/3)^m$
Per vedere se questa serie converge si sfrutta il criterio del rapporto
In generale (ricordatelo per il futuro), ogni volta che hai una serie di questo tipo : $sum_(n=0)^(+oo)x^n$, con $x in RR$
la serie converge se $|x|<1$ (come nel nosto caso), e vale $1/(1-x)$
la serie non converge se $|x|>=1$
Ahhh ok!
Però così la somma viene $1/2$...e dovrebbe venire $15/2$ secondo il prof!
Però così la somma viene $1/2$...e dovrebbe venire $15/2$ secondo il prof!
Infatti viene $15/2$. che conti hai fatto?
$1/(1-(1/3))$ ...........x non è $1/3$ ???
S', $x=1/3$
Quindi la serie converge a $5*(1/(1-(1/3)))$
Quindi la serie converge a $5*(1/(1-(1/3)))$
Grandissimo grazie 
$sum_(n=1)^infty (n^2+1)/(n^3+1)$
allora applico il limite:
$lim_(n->infty) (n^2+1)/(n^3+1)$
e mi viene 0<1 quindi converge!
Ma la soluzione del mio prof riporta
(La serie è una maggiorante della serie armonica che è divergente poichè $(n^2+1)/(n^3+1)>=1/n$)
allora applico il limite:
$lim_(n->infty) (n^2+1)/(n^3+1)$
e mi viene 0<1 quindi converge!
Ma la soluzione del mio prof riporta
(La serie è una maggiorante della serie armonica che è divergente poichè $(n^2+1)/(n^3+1)>=1/n$)
Prego. Una precisazione su quanto ho detto prima:
Tu all'inizio hai calcolato il $lim_(n->+oo)a_n$
Non hai sbagliato a farlo. Questo procedimento va fatto, anzi èla prima cosa da fare.
Se il limite non è $0$, puoi subito affermare che la serie non converge.
Se invece il limite fa $0$, non puoi dire nulla. Cioè non puoi stabilire nè se converge nè se non converge.
Detto in modo più formale, $lim_(n->+oo) a_n=0$ è condizione necessaria, ma non sufficiente, affinchè la serie converga.
Tu all'inizio hai calcolato il $lim_(n->+oo)a_n$
Non hai sbagliato a farlo. Questo procedimento va fatto, anzi èla prima cosa da fare.
Se il limite non è $0$, puoi subito affermare che la serie non converge.
Se invece il limite fa $0$, non puoi dire nulla. Cioè non puoi stabilire nè se converge nè se non converge.
Detto in modo più formale, $lim_(n->+oo) a_n=0$ è condizione necessaria, ma non sufficiente, affinchè la serie converga.
"pol20":Come ho appena detto, se viene $0$ non puoi affermare nè che converge, nè che non converge
$sum_(n=1)^infty (n^2+1)/(n^3+1)$
allora applico il limite:
$lim_(n->infty) (n^2+1)/(n^3+1)$
e mi viene 0<1 quindi converge!
Ahhh ok!
Quindi come si fa a capire se converge o no?
Ho guardato le serie armoniche e ho capito che se vien $1/n$ allora è una serie armonica...ma perchè "non converge" ???
Quindi come si fa a capire se converge o no?
Ho guardato le serie armoniche e ho capito che se vien $1/n$ allora è una serie armonica...ma perchè "non converge" ???
Scusa, ma queste sono tutti argomenti di teoria.
Riguarda gli appunti. Si parlerà sicuramente di "Criterio del Rapporto" e di "Criterio del Confronto"
Ps: $sum_(n=1)^(+oo) 1/n=1+1/2+1/3+1/4+...$ è detta serie armonica
Anche se a prima vista può sembrare strano, questa serie diverge a $+oo$ (lo si può dimostrare in tanti modi, come detto qui)
Riguarda gli appunti. Si parlerà sicuramente di "Criterio del Rapporto" e di "Criterio del Confronto"
Ps: $sum_(n=1)^(+oo) 1/n=1+1/2+1/3+1/4+...$ è detta serie armonica
Anche se a prima vista può sembrare strano, questa serie diverge a $+oo$ (lo si può dimostrare in tanti modi, come detto qui)
ok grazie mille
Prego.
Ps: guarda questo post: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#526204
Direi che puoi rispondere tu
Ps: guarda questo post: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#526204
Direi che puoi rispondere tu
fatto!
spero di non aver detto na cavolata xD
spero di non aver detto na cavolata xD
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