Riscrittura di una EDO:

[Roslyn]

Ho come soluzione di una EDO:

$(1/3) ln (1+y^3)^3 = (1/2)ln(1+x^2)-ln(x) +c $ e poi devo verificare $y(1)=1$

Ora come faccio a ricavarmi $y(x) $?

[stormy1]

prima di tutto è meglio scrivere c nella forma c=lnk,con k>0
per le proprièta dei logaritmi hai
$ln(1+y^3)=lnksqrt(1+x^2)/x$
etc...

[gugo82]

Beh, anche senza ricavare esplicitamente \(y\), ti basta sostituire \(x=1\) ed \(y=1\) nell'integrale scritto in forma implicita.

[Roslyn]

Scusa era y(0)=1 , quindi basta mettere y=1 e x=0 ?

[gugo82]

Sì, certo.

[Roslyn]

grazie mille davvero !

[stormy1]

scusate,ma io vedo che c'è un lnx,e sostituire ad x il valore zero la vedo dura

[gugo82]

@ Roslyn: Detto un po' meglio...
Molto spesso l'integrale generale di una EDO a variabili separabili si trova scritto in forma implicita come:
\[
\tag{1}
G(y) = F(x;c)\; ,
\]
in cui \(G(\cdot)\) ed \(F(\cdot ;c)\) sono opportune funzioni, la seconda delle quali dipende da un parametro (ad esempio, la costante arbitraria d'integrazione), e non sempre è possibile esplicitare tale equazione rispetto all'incognita \(y\) per ottenere l'integrale generale \(y(\cdot;c)\) della EDO.

Ciò nonostante, si possono determinare ugualmente i valori del parametro \(c\) che formiscono le eventuali solizioni del PdC associato alla EDO con condizione inziale \(y(x_0)=y_0\). Per fare ciò, basta sostituire le coordinate del punto iniziale \((x_0,y_0)\) nella soluzione scritta in forma esplicita (1), ottenendo così l'equazione:
\[
\tag{2}
G(y_0)=F(x_0;c)
\]
nell'incognita \(c\); e ad ogni soluzione \(c_0\) di (2) corrisponde una soluzione locale del PdC mediante l'equazione implicita:
\[
\tag{3}
G(y)=F(x;c_0)\; .
\]


@ stormy: E pure hai ragione... Si dovrebbe controllare il testo dell'esercizio.