Riscrittura del trinomio associato alla parabola
Buongiorno a tutti,
dopo aver fatto una ricerca nella sezione, e non avendo (apparentemente) trovato nulla al riguardo, mi permetto di porre la domanda ex novo.
Prima di iniziare a preparare l'esame di Analisi, ho optato per un ripasso generale delle nozioni di base richieste.
Il libro scelto/consigliato è Il PreCalculus di Marco Bramanti.
Ed ecco la prima difficoltà incontrata, a p. 63, riguardante il trinomio di secondo grado rappresentante la funzione della parabola.
Di seguito il passaggio:
"Ogni trinomio \( ax^2 + bx + c \) si può riscrivere nella forma \( a(x - x_0)^2 + k \).
A tal fine, basta fare i seguenti passaggi algebreci:
\[ ax^2 + bx + c = a ( x^2 + \frac{b}{a}\ x ) + c = a ( x + \frac{b}{2a}\ )^2 + ( c - \frac{b^2}{4a}\ ) = a ( x - x_0)^2 + k \]
con \( x_0 = -\frac{b}{2a}\ \) ; \( k = c - \frac{b^2}{4a}\ \). "
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma davvero non riesco a capire come passare dal secondo al terzo membro dell'uguaglianza.
Il tentativo che mi ha portato più vicino alla soluzione è stato giocare sull'equazione associata alla funzione della parabola e aggiungere valori ad entrambi i membri per cercare di ridurre \( ( x^2 + \frac{b}{a}\ x ) \) ad un quadrato di binomio. Inutile aggiungere, senza successo.
Ringrazio in anticipo chi si cimenterà nella soluzione.
Perdonate eventuali errori, è il mio primo post.
dopo aver fatto una ricerca nella sezione, e non avendo (apparentemente) trovato nulla al riguardo, mi permetto di porre la domanda ex novo.
Prima di iniziare a preparare l'esame di Analisi, ho optato per un ripasso generale delle nozioni di base richieste.
Il libro scelto/consigliato è Il PreCalculus di Marco Bramanti.
Ed ecco la prima difficoltà incontrata, a p. 63, riguardante il trinomio di secondo grado rappresentante la funzione della parabola.
Di seguito il passaggio:
"Ogni trinomio \( ax^2 + bx + c \) si può riscrivere nella forma \( a(x - x_0)^2 + k \).
A tal fine, basta fare i seguenti passaggi algebreci:
\[ ax^2 + bx + c = a ( x^2 + \frac{b}{a}\ x ) + c = a ( x + \frac{b}{2a}\ )^2 + ( c - \frac{b^2}{4a}\ ) = a ( x - x_0)^2 + k \]
con \( x_0 = -\frac{b}{2a}\ \) ; \( k = c - \frac{b^2}{4a}\ \). "
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma davvero non riesco a capire come passare dal secondo al terzo membro dell'uguaglianza.
Il tentativo che mi ha portato più vicino alla soluzione è stato giocare sull'equazione associata alla funzione della parabola e aggiungere valori ad entrambi i membri per cercare di ridurre \( ( x^2 + \frac{b}{a}\ x ) \) ad un quadrato di binomio. Inutile aggiungere, senza successo.
Ringrazio in anticipo chi si cimenterà nella soluzione.
Perdonate eventuali errori, è il mio primo post.
Risposte
Dato che non mi ricordo mai una formula diretta per "quadrare" il binomio, io faccio così ...
Se $(x+p)^2=x^2+2p+p^2$ allora nel nostro caso è $(x+p)^2=x^2+b/ax+...$, quindi $2p=b/a$ da cui $p=b/(2a)$ e $p^2=b^2/(4a^2)$
Cordialmente, Alex
Se $(x+p)^2=x^2+2p+p^2$ allora nel nostro caso è $(x+p)^2=x^2+b/ax+...$, quindi $2p=b/a$ da cui $p=b/(2a)$ e $p^2=b^2/(4a^2)$
Cordialmente, Alex
basta spostare l'origine sul vertice della parabola..
Una tecnica è quella del completamento del quadrato, che si usa, tra l’altro, per dimostrare la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado.
Mettendo in evidenza $a$, moltiplicando e dividendo per $2$, sommando e sottraendo $b^2/(4a^2)$ e raccogliendo il quadrato di binomio, hai:
\[
\begin{split}
ax^2 + bx + c &= a\left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right)\\
&= a\left( x^2 + 2 \frac{b}{2a} x + \frac{c}{a}\right)\\
&= a\left( x^2 + 2 \frac{b}{2a} x + \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} \right)\\
&= a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\Delta}{4a}
\end{split}
\]
dunque $x_0=-b/(2a)$ e $k=-Delta/(4a)$... E, guarda un po’, queste sono le coordinate del vertice della parabola di equazione $y=ax^2 + bx + c$.
Mettendo in evidenza $a$, moltiplicando e dividendo per $2$, sommando e sottraendo $b^2/(4a^2)$ e raccogliendo il quadrato di binomio, hai:
\[
\begin{split}
ax^2 + bx + c &= a\left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}\right)\\
&= a\left( x^2 + 2 \frac{b}{2a} x + \frac{c}{a}\right)\\
&= a\left( x^2 + 2 \frac{b}{2a} x + \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} \right)\\
&= a\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{\Delta}{4a}
\end{split}
\]
dunque $x_0=-b/(2a)$ e $k=-Delta/(4a)$... E, guarda un po’, queste sono le coordinate del vertice della parabola di equazione $y=ax^2 + bx + c$.
Per prima cosa grazie a tutti per le risposte veloci ed esaurienti, ora però vorrei verificare di aver capito correttamente.
In pratica mi basta aggiungere e sottrarre \( \frac{b^2}{4a}\ \) a f(x) che, una volta messa in evidenza per \( a \), aumenterà il grado del denominatore così da rappresentare un quadrato di binomio in froma estesa. Fatto questo i membri non rappresentanti un quadrato di binomio restano esterni e diventano il \( k \) della nuova forma.
In soldoni:
\[ ax^2 + bx + c + \frac{b^2}{4a}\ - \frac{b^2}{4a}\ \]
evidenziando \( a\):
\[ a (x^2 + 2 \frac{b}{2a}\ x + \frac{b^2}{4a^2}\ ) + c - \frac{b^2}{4a}\ \]
dato che il contenuto evidenziato per \( a \) rappresenta un quadrato di binomio, la funzione diventa:
\[ a ( x + \frac{b}{2a}\ ) ^2+ ( c - \frac{b^2}{4a}\ ) \]
che coincide con la forma che volevamo dimostrare.
Dato che credo di aver capito tutto correttamente, il mio errore era quello di ostinarmi ad aggiungere e sottrarre \( \frac{b^2}{4a^3}\ \) invece di \( \frac{b^2}{4a}\ \) convinto (in maniera del tutto infondata) che la messa in evidenza per \( a \) avrebbe ridotto, invece di incrementare, il grado del denominatore.
Ancora grazie per il chiarimento, ora posso proseguire.
E buon pomeriggio.
In pratica mi basta aggiungere e sottrarre \( \frac{b^2}{4a}\ \) a f(x) che, una volta messa in evidenza per \( a \), aumenterà il grado del denominatore così da rappresentare un quadrato di binomio in froma estesa. Fatto questo i membri non rappresentanti un quadrato di binomio restano esterni e diventano il \( k \) della nuova forma.
In soldoni:
\[ ax^2 + bx + c + \frac{b^2}{4a}\ - \frac{b^2}{4a}\ \]
evidenziando \( a\):
\[ a (x^2 + 2 \frac{b}{2a}\ x + \frac{b^2}{4a^2}\ ) + c - \frac{b^2}{4a}\ \]
dato che il contenuto evidenziato per \( a \) rappresenta un quadrato di binomio, la funzione diventa:
\[ a ( x + \frac{b}{2a}\ ) ^2+ ( c - \frac{b^2}{4a}\ ) \]
che coincide con la forma che volevamo dimostrare.
Dato che credo di aver capito tutto correttamente, il mio errore era quello di ostinarmi ad aggiungere e sottrarre \( \frac{b^2}{4a^3}\ \) invece di \( \frac{b^2}{4a}\ \) convinto (in maniera del tutto infondata) che la messa in evidenza per \( a \) avrebbe ridotto, invece di incrementare, il grado del denominatore.
Ancora grazie per il chiarimento, ora posso proseguire.
E buon pomeriggio.
Certo.
Cambiando l’ordine dei passaggi, il risultato non cambia...
Cambiando l’ordine dei passaggi, il risultato non cambia...
"gugo82":
Una tecnica è quella del completamento del quadrato, che si usa, tra l’altro, per dimostrare la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado.
Questo di completare il quadrato mi ha ricordato questo vecchissimo post di Martino:
viewtopic.php?p=169340#p169340
uno dei primi post che lessi quando approdai su questo forum. È rilevante per la domanda dell'OP.
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