Ripasso sui flussi
Non riesco a trovare nella marea di appunti che ho, come si calcola la divergenza e il versore normale di un flusso.
Guardando negli esercizi, può essere che:
$F=(F_1,F_2,F_3)$ dove F1,F2,F3 sono le componenti del flusso
Mentre il versore
Guardando negli esercizi, può essere che:
$F=(F_1,F_2,F_3)$ dove F1,F2,F3 sono le componenti del flusso
$divF=((\partialF_1)/\(partialF), (\partialF_2)/\(partialF),(\partialF_3)/\(partialF))$
Mentre il versore
$\hatn = ((\partialx_F, \partialy_F,1)/(sqrt(1+\partialx_F^2+\partialy_F^2)))$
Risposte
Sei un po' confuso 
[tex]F=(F_1,F_2,F_3)[/tex] è un campo vettoriale, non un flusso, mentre la divergenza di un campo è definita come:
[tex]\mathrm{div}F\equiv\nabla\cdot F:=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}[/tex] dove [tex]F_1, F_2, F_3[/tex] sono le componenti del campo.
A pagina 184 della seguente dispensa, che ho trovato facendo una ricerca con google, trovi una spiegazione dettagliata con esempi di come si calcola il flusso di un campo e relativi teoremi.
Ciao
[tex]F=(F_1,F_2,F_3)[/tex] è un campo vettoriale, non un flusso, mentre la divergenza di un campo è definita come:
[tex]\mathrm{div}F\equiv\nabla\cdot F:=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}[/tex] dove [tex]F_1, F_2, F_3[/tex] sono le componenti del campo.
A pagina 184 della seguente dispensa, che ho trovato facendo una ricerca con google, trovi una spiegazione dettagliata con esempi di come si calcola il flusso di un campo e relativi teoremi.
Ciao
Si, ho sbagliato io xD
Per il versore, ho visto in quella dispensa che lo scrive come
e altri metodi...Qual è che devo usare per calcolare per esempio
Per il versore, ho visto in quella dispensa che lo scrive come
$\hatn = ((-f_x\hati -f_y\hatj+k)/(sqrt(1+|\gradF|^2)))$
e altri metodi...Qual è che devo usare per calcolare per esempio
$\int\int_{\partialD}^{}F*\hatn_edS$
Mi sembra che tu stia confondendo un po' le cose. Il flusso di un campo vettoriale $\mathbf{F}: \mathbb{R}^3 \supseteq D \to \mathbb{R}^3$ attraverso una superficie $\Sigma$ è definito nel seguente modo:
\[ \iint_{\Sigma} (\mathbf{F} \cdot \hat{n}) d\sigma \]
Gli "ingredienti" dunque sono 2, un campo vettoriale ed una superficie.
Il versore normale ad una superficie $(\Sigma,\mathbf{r}), dove $ $\mathbf{r}(u,v): \mathbb{R}^2 \supseteq D \to \mathbb{R}^3$ è definito come:
\[ \hat{n} = \frac{\partial_{u}\mathbf{r} \times \partial_{v}\mathbf{r}}{||\partial_{u}\mathbf{r} \times \partial_{v}\mathbf{r}||} \]
Se poi la tua superficie è definita in modi differenti, come ad esempio il grafico di una funzione in 2 variabili $g(x,y)$ oppure come insieme di livello di una funzione $G(x,y,z) = k$ (da cui con il Teo della funzione implicita o del Dini ci si riconduce al caso precedente), la suddetta formula si trasforma.
Nello specifico, se $\Sigma := graf(g)$, allora: \[\mathbf{r}(x,y) = x\hat{i} + y\hat{j} + g(x,y)\hat{k}\\ \hat{n} = \frac{- \partial_x g\hat{i} - \partial_y g\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt(1 + \| \nabla g\| ^2)} \]
Che è la formula da te riportata.
Capisci dunque che il calcolo del versore normale dipende dalla forma in cui è definita la tua superficie!
Infine l'integrale di flusso attraverso una superficie chiusa lo puoi esprimere anche come integrale di volume della divergenza (sotto opportune ipotesi che non sto a scrivere), che si calcola come ti ha detto friction:
\[ \iint_{\partial V} (\mathbf{F} \cdot \hat{n}) d\sigma = \iiint_{V} div\mathbf{F} d\tau\]
Ora hai tutti gli elementi per poter calcolare il flusso da te richiesto, spero di essere stato chiaro.
\[ \iint_{\Sigma} (\mathbf{F} \cdot \hat{n}) d\sigma \]
Gli "ingredienti" dunque sono 2, un campo vettoriale ed una superficie.
Il versore normale ad una superficie $(\Sigma,\mathbf{r}), dove $ $\mathbf{r}(u,v): \mathbb{R}^2 \supseteq D \to \mathbb{R}^3$ è definito come:
\[ \hat{n} = \frac{\partial_{u}\mathbf{r} \times \partial_{v}\mathbf{r}}{||\partial_{u}\mathbf{r} \times \partial_{v}\mathbf{r}||} \]
Se poi la tua superficie è definita in modi differenti, come ad esempio il grafico di una funzione in 2 variabili $g(x,y)$ oppure come insieme di livello di una funzione $G(x,y,z) = k$ (da cui con il Teo della funzione implicita o del Dini ci si riconduce al caso precedente), la suddetta formula si trasforma.
Nello specifico, se $\Sigma := graf(g)$, allora: \[\mathbf{r}(x,y) = x\hat{i} + y\hat{j} + g(x,y)\hat{k}\\ \hat{n} = \frac{- \partial_x g\hat{i} - \partial_y g\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt(1 + \| \nabla g\| ^2)} \]
Che è la formula da te riportata.
Capisci dunque che il calcolo del versore normale dipende dalla forma in cui è definita la tua superficie!
Infine l'integrale di flusso attraverso una superficie chiusa lo puoi esprimere anche come integrale di volume della divergenza (sotto opportune ipotesi che non sto a scrivere), che si calcola come ti ha detto friction:
\[ \iint_{\partial V} (\mathbf{F} \cdot \hat{n}) d\sigma = \iiint_{V} div\mathbf{F} d\tau\]
Ora hai tutti gli elementi per poter calcolare il flusso da te richiesto, spero di essere stato chiaro.
Ah quindi non c'è solo un modo per calcolare il versore.
Se per esempio ho la funzione di uno spazio, definita in un insieme (cilindro, paraboloide, ecc), quale dei due metodi devo usare?
Se per esempio ho la funzione di uno spazio, definita in un insieme (cilindro, paraboloide, ecc), quale dei due metodi devo usare?
No aspetta. Non importa che forma visiva ha la superficie (se è una sfera piuttosto che un cilindro) ma importa in che modo è espressa.
Facciamoci questa domanda: che tipo di oggetto matematico rappresenta una superficie?
Non vi è un unico oggetto, ma bensì più d'uno come dicevo nel post precedente.
La definizione canonica di superficie è quella parametrica, che vede la superficie come una coppia sostegno parametrizzazione. Senza dilungarci troppo la superficie è rappresentata dall'immagine di una funzione vettoriale di due variabili (2 gradi di libertà se preferisci):
\[\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\hat{i} + y(u,v)\hat{j} + z(u,v)\hat{k} \\ \Sigma := Im(\mathbf{r}(u,v))\]
Un altro modo è quello degli insiemi di livello (oppure definizione implicita), ovvero si definisce superficie come i punti in cui una certa funzione è costante:
\[\Sigma := \{ (x,y,z): (x,y,z) \in D, k \in \mathbb{R}, F(x,y,z) = k \} \]
Dalla forma precedente poi, si possono esplicitare delle rappresentazioni locali del tipo $g(x,y)$ di cui il grafico definirà la superficie:
\[\Sigma := \{ (x,y,z): (x,y) \in D, z = g(x,y) \} \]
In base a quale forma si esprime la superficie la formula per il calcolo del versore normale cambia.
Ti faccio l'esempio di quanto detto con la sfera:
Forma parametrica: \[\mathbf{r}(u,v) = Rsin(u)cos(v)\hat{i} + Rsin(u)sin(v)\hat{j} + Rcos(u)\hat{k} \ \ \ \ (u,v) \in [0,\pi] \times [-\pi,\pi)\]
Forma implicita: \[F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0\]
Grafico di funzione locale: \[ g_{1}(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 - R^2} \ \ \ \ g_{2}(x,y) = -\sqrt{x^2 + y^2 - R^2}\]
Facciamoci questa domanda: che tipo di oggetto matematico rappresenta una superficie?
Non vi è un unico oggetto, ma bensì più d'uno come dicevo nel post precedente.
La definizione canonica di superficie è quella parametrica, che vede la superficie come una coppia sostegno parametrizzazione. Senza dilungarci troppo la superficie è rappresentata dall'immagine di una funzione vettoriale di due variabili (2 gradi di libertà se preferisci):
\[\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\hat{i} + y(u,v)\hat{j} + z(u,v)\hat{k} \\ \Sigma := Im(\mathbf{r}(u,v))\]
Un altro modo è quello degli insiemi di livello (oppure definizione implicita), ovvero si definisce superficie come i punti in cui una certa funzione è costante:
\[\Sigma := \{ (x,y,z): (x,y,z) \in D, k \in \mathbb{R}, F(x,y,z) = k \} \]
Dalla forma precedente poi, si possono esplicitare delle rappresentazioni locali del tipo $g(x,y)$ di cui il grafico definirà la superficie:
\[\Sigma := \{ (x,y,z): (x,y) \in D, z = g(x,y) \} \]
In base a quale forma si esprime la superficie la formula per il calcolo del versore normale cambia.
Ti faccio l'esempio di quanto detto con la sfera:
Forma parametrica: \[\mathbf{r}(u,v) = Rsin(u)cos(v)\hat{i} + Rsin(u)sin(v)\hat{j} + Rcos(u)\hat{k} \ \ \ \ (u,v) \in [0,\pi] \times [-\pi,\pi)\]
Forma implicita: \[F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - R^2 = 0\]
Grafico di funzione locale: \[ g_{1}(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 - R^2} \ \ \ \ g_{2}(x,y) = -\sqrt{x^2 + y^2 - R^2}\]
Allora ancora non capisco quale delle due formule devo usare quando devo calcolare il versore...
Ma scherzi? Prova a metterci un po' del tuo.
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