Riparametrizzazioni di un campo vettoriale
La questione è saltata fuori in un corso di Fisica Matematica, ma il problema è puramente analitico.
Facendo alcuni esercizi sulle riparametrizzazioni di campi vettoriali non mi tornano delle cose, in particolare quando cerco di applicare il seguente
Lemma. Il campo vettoriale \(X' \) su \(\Omega'\) coniugato ad un campo vettoriale \(X\) su \(\Omega\) da un diffeomorfismo \(\mathcal{C}: \Omega \to \Omega'\) è \[X' = \left( \frac{\partial \mathcal{C}}{\partial z} X \right) \circ \mathcal{C}^{-1} \]
ovvero, per ogni \(z' \in \Omega'\), \[X' (z')=\frac{\partial \mathcal{C}}{\partial z} (\mathcal{C}^{-1}(z'))X(\mathcal{C}^{-1} (z')) \]
Il diffeomorfismo in questione dovrebbe essere la nostra riparametrizzazione.
Ora, il significato del lemma mi è chiaro. Tuttavia, nel momento della sua applicazione ad un esercizio, faccio confusione tra chi è \(\mathcal{C}\) e chi è \(\mathcal{C}^{-1}\). Vorrei quindi cercare di dissipare i dubbi mediante il seguente
Esercizio. Le coordinate sferiche, usate per parametrizzare la sfera con l'eccezione dei due poli sono \[\Theta : (\varphi, \vartheta) \to (\sin \vartheta \cos \varphi , \sin \vartheta \sin \varphi, \cos \vartheta) \] con \(\varphi \in (0, 2\pi)\) e \(\vartheta \in (0, \pi)\). Si consideri il campo vettoriale \(X\) che, in tali coordinate, ha l'espressione \((1,0)\). Le calotte della sfera si possono parametrizzare anche usando le due possibili scelte di coordinate cartesiane \[\Phi : (x,y) \to (x,y, \sqrt{1 - x^2 - y^2}) \qquad \Psi: (x,z) \to (x, \sqrt{1- x^2 - z^2},z) \]
Si riscriva il campo vettoriale \(X\) usando questi due sistemi di coordinate.
Suggerimento: nel caso della scelta delle coordinate date da \(\Phi\), si tratta di usare il cambiamento di coordinate \[(\varphi, \vartheta) \to (\sin \vartheta \cos \varphi, \sin \vartheta \sin \varphi) \] di inversa \[(x,y) \to (\text{arg}(x,y), \arcsin (\sqrt{x^2 + y^2})) \] Nel caso di \(\Psi\) si usa invece il cambiamento di coordinate \[(\varphi, \vartheta) \to (\sin \vartheta \cos \varphi, \cos \vartheta)\] di inversa \[(x,z) \to \left( \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{1-z^2}} \right), \arccos(z) \right) \]
Come detto, faccio un po' di confusione, anche alla luce di esempi svolti a lezione. Provo quindi a risolvere l'esercizio di stomaco, in maniera intuitiva.
Credo che il campo vettoriale da studiare sia \[\begin{cases} \dot \varphi = 1 \\ \dot \vartheta = 0 \end{cases} \] Usando la prima parametrizzazione (\(\Phi\)) devo costruire la Jacobiana come suggerito dal lemma che dovrebbe essere, vado ad intuito (derivo parzialmente la funzione argomento e l'arcoseno), \[ \begin{pmatrix} -\frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} \end{pmatrix}\] e quindi il campo in coordinate cartesiane dovrebbe essere \[\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Vi sembra giusto quanto ho fatto? Credo di dover infine scrivere il vettore \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) in coordinate cartesiane, ma come?
Ben accetto sarà qualunque tipo di commento.
Facendo alcuni esercizi sulle riparametrizzazioni di campi vettoriali non mi tornano delle cose, in particolare quando cerco di applicare il seguente
Lemma. Il campo vettoriale \(X' \) su \(\Omega'\) coniugato ad un campo vettoriale \(X\) su \(\Omega\) da un diffeomorfismo \(\mathcal{C}: \Omega \to \Omega'\) è \[X' = \left( \frac{\partial \mathcal{C}}{\partial z} X \right) \circ \mathcal{C}^{-1} \]
ovvero, per ogni \(z' \in \Omega'\), \[X' (z')=\frac{\partial \mathcal{C}}{\partial z} (\mathcal{C}^{-1}(z'))X(\mathcal{C}^{-1} (z')) \]
Il diffeomorfismo in questione dovrebbe essere la nostra riparametrizzazione.
Ora, il significato del lemma mi è chiaro. Tuttavia, nel momento della sua applicazione ad un esercizio, faccio confusione tra chi è \(\mathcal{C}\) e chi è \(\mathcal{C}^{-1}\). Vorrei quindi cercare di dissipare i dubbi mediante il seguente
Esercizio. Le coordinate sferiche, usate per parametrizzare la sfera con l'eccezione dei due poli sono \[\Theta : (\varphi, \vartheta) \to (\sin \vartheta \cos \varphi , \sin \vartheta \sin \varphi, \cos \vartheta) \] con \(\varphi \in (0, 2\pi)\) e \(\vartheta \in (0, \pi)\). Si consideri il campo vettoriale \(X\) che, in tali coordinate, ha l'espressione \((1,0)\). Le calotte della sfera si possono parametrizzare anche usando le due possibili scelte di coordinate cartesiane \[\Phi : (x,y) \to (x,y, \sqrt{1 - x^2 - y^2}) \qquad \Psi: (x,z) \to (x, \sqrt{1- x^2 - z^2},z) \]
Si riscriva il campo vettoriale \(X\) usando questi due sistemi di coordinate.
Suggerimento: nel caso della scelta delle coordinate date da \(\Phi\), si tratta di usare il cambiamento di coordinate \[(\varphi, \vartheta) \to (\sin \vartheta \cos \varphi, \sin \vartheta \sin \varphi) \] di inversa \[(x,y) \to (\text{arg}(x,y), \arcsin (\sqrt{x^2 + y^2})) \] Nel caso di \(\Psi\) si usa invece il cambiamento di coordinate \[(\varphi, \vartheta) \to (\sin \vartheta \cos \varphi, \cos \vartheta)\] di inversa \[(x,z) \to \left( \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{1-z^2}} \right), \arccos(z) \right) \]
Come detto, faccio un po' di confusione, anche alla luce di esempi svolti a lezione. Provo quindi a risolvere l'esercizio di stomaco, in maniera intuitiva.
Credo che il campo vettoriale da studiare sia \[\begin{cases} \dot \varphi = 1 \\ \dot \vartheta = 0 \end{cases} \] Usando la prima parametrizzazione (\(\Phi\)) devo costruire la Jacobiana come suggerito dal lemma che dovrebbe essere, vado ad intuito (derivo parzialmente la funzione argomento e l'arcoseno), \[ \begin{pmatrix} -\frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} \end{pmatrix}\] e quindi il campo in coordinate cartesiane dovrebbe essere \[\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{y}{x^2 + y^2} & \frac{x}{x^2 + y^2} \\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} & \frac{y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Vi sembra giusto quanto ho fatto? Credo di dover infine scrivere il vettore \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) in coordinate cartesiane, ma come?
Ben accetto sarà qualunque tipo di commento.
Risposte
Aggiornamento. Ci ho pensato un po', ed in effetti lì sopra stavo facendo un po' i conti con la testa nel sacco. In realtà mi sembra ancora che il procedimento sia corretto (nonostante non mi sia ancora venuta in mente la riscrittura del vettore \( (1,0)^t\) in termini di coordinate cartesiane), ma ho osservato che si potrebbe procedere anche così:
Considerato il cambio di coordinate scelto, vale \[ \begin{cases}\dot \varphi = \frac{x \dot y - y \dot x}{x^2 + y^2} \\ \dot \vartheta = \frac{x \dot x + y \dot y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} \end{cases} \] e dai dati assegnati ottengo \[ \begin{cases} \frac{x \dot y - y \dot x}{x^2 + y^2}=1 \\ \frac{x \dot x + y \dot y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}}=0 \end{cases} \quad \rightarrow \quad \begin{cases} \dot x =-y \\ \dot y = x \end{cases} \]
che mi sembra una riscrittura onesta del campo.
Edit. Avevo sbagliato a calcolare la derivata della funzione \(\displaystyle \arg \). Sistemato.
Considerato il cambio di coordinate scelto, vale \[ \begin{cases}\dot \varphi = \frac{x \dot y - y \dot x}{x^2 + y^2} \\ \dot \vartheta = \frac{x \dot x + y \dot y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}} \end{cases} \] e dai dati assegnati ottengo \[ \begin{cases} \frac{x \dot y - y \dot x}{x^2 + y^2}=1 \\ \frac{x \dot x + y \dot y}{\sqrt{1-x^2 - y^2} \sqrt{x^2 + y^2}}=0 \end{cases} \quad \rightarrow \quad \begin{cases} \dot x =-y \\ \dot y = x \end{cases} \]
che mi sembra una riscrittura onesta del campo.
Edit. Avevo sbagliato a calcolare la derivata della funzione \(\displaystyle \arg \). Sistemato.
Delirium dove studi?