Riparametrizzazione della parabola

[Angus1956]

Trovare il modo di riparametrizzare $\gamma:[0,1]->RR^2$ definita come $(t)->(t,t^2)$ in modo che abbia velocità costante $1$.
Dobbiamo trovare una funzione $\varphi:[a,b]->[0,1]$ $C^1$-diffeomorfismo tale che $u(t)=\gamma(\varphi(t))$ e $||dot u(t)||=1$. Abbiamo che $u(t)=(\varphi(t),\varphi^2(t))$ da cui $dot u(t)=(dot \varphi(t), 2\varphi(t) dot \varphi(t))$. Imponendo la condizione $||dot u(t)||=1$ otteniamo che $| dot \varphi(t)|sqrt(1+4\varphi^2(t))=1$, ovvero l'equazione differenziale $| dot \varphi(t)|=1/(sqrt(1+4\varphi^2(t)))$. Non so come continuare (ovvero ad esempio provare a risolvere l 'equazione differenziale), qualcuno può aiutarmi? Grazie.

[gugo82]

Prova a cercare "ascissa curvilinea" sul tuo testo di riferimento...

[Angus1956]

"gugo82":Prova a cercare "ascissa curvilinea" sul tuo testo di riferimento...

Ho dato un occhiata su internet, quindi la funzione che mi parametrizza è $s(t):[0,1]->[0,(2sqrt(5)+ln(2+sqrt(5)))/4]$ definita come $s(t)=\int_0^tsqrt(1+4x^2)dx=(tsqrt(4t^2+1))/2+(ln(2t+sqrt(4t^2+1)))/4$. Se ho sbagliato qualcosa dimmelo, grazie!!

[gugo82]

"andreadel1988":Se ho sbagliato qualcosa dimmelo, grazie!!

Hai sbagliato a non usare un libro.

[Angus1956]

"andreadel1988":
Ho dato un occhiata su internet, quindi la funzione che mi parametrizza è $s(t):[0,1]->[0,(2sqrt(5)+ln(2+sqrt(5)))/4]$ definita come $s(t)=\int_0^tsqrt(1+4x^2)dx=(tsqrt(4t^2+1))/2+(ln(2t+sqrt(4t^2+1)))/4$. Se ho sbagliato qualcosa dimmelo, grazie!!

Ora che ci penso non dovrei prendere l'inversa di $s(t)$ e usare quella come riparametrizzazione per ottenere un cammino paramentrizzato con velocità costante $1$?