Rimaneggiamenti algebrici e dominio derivata prima
Salve ragazzi ho un quesito da porvi. Supponiamo di dover studiare la funzione $f(x)=log(x^2+2x+1)$
prima cosa individuo il dominio che risulta essere $D(f)={x\inRR:x!=-1}$
Ad un certo punto mi ritroverò a dover calcolare la derivata prima
Quindi $d/dx [log(x^2+2x+1)]=1/(x^2+2x+1)*(2x+2)=2/(x+1)$
Il dominio della derivata prima sarà coincidente con quello della funzione $f$. Deduciamo quindi che la derivata esiste in $RR-{-1}$
Però io calcolando la derivata potrei aver usato qualche trucchetto algebrico ed alterato il dominio ed qui la mia domanda: si può fare?
Ad esempio
$d/dx [log(x^2+2x+1)]=d/dx [2log(x+1)]=2*1/(x+1)$
A livello puramente analitico le espressioni sono identiche. In questo caso questa trasformazione non mi ha portato alcun vantaggio ma ci sono casi più laboriosi in cui si potrebbe risparmiare molto tempo. La mia domanda è: che dominio avrà la nostra derivata prima ora?
Per via dei rimaneggiamenti dovrebbe essere $D(f')={x\inRR:x > -1}$
Così però potrò fare le varie considerazione sulla derivata solo in quell'insieme di valori di x, compromettendo la buona riuscita del mio studio di funzione. Quindi questa pratica è da aborrire? niente rimaneggiamenti che portino a ridurre il dominio più di quanto non sia necessario?
prima cosa individuo il dominio che risulta essere $D(f)={x\inRR:x!=-1}$
Ad un certo punto mi ritroverò a dover calcolare la derivata prima
Quindi $d/dx [log(x^2+2x+1)]=1/(x^2+2x+1)*(2x+2)=2/(x+1)$
Il dominio della derivata prima sarà coincidente con quello della funzione $f$. Deduciamo quindi che la derivata esiste in $RR-{-1}$
Però io calcolando la derivata potrei aver usato qualche trucchetto algebrico ed alterato il dominio ed qui la mia domanda: si può fare?
Ad esempio
$d/dx [log(x^2+2x+1)]=d/dx [2log(x+1)]=2*1/(x+1)$
A livello puramente analitico le espressioni sono identiche. In questo caso questa trasformazione non mi ha portato alcun vantaggio ma ci sono casi più laboriosi in cui si potrebbe risparmiare molto tempo. La mia domanda è: che dominio avrà la nostra derivata prima ora?
Per via dei rimaneggiamenti dovrebbe essere $D(f')={x\inRR:x > -1}$
Così però potrò fare le varie considerazione sulla derivata solo in quell'insieme di valori di x, compromettendo la buona riuscita del mio studio di funzione. Quindi questa pratica è da aborrire? niente rimaneggiamenti che portino a ridurre il dominio più di quanto non sia necessario?
Risposte
A molti sfugge un fatto ovvero che una funzione è definita da dominio, codominio e legge di corrispondenza; di conseguenza se alteri anche uno solo di questi tre elementi, non necessariamente la legge, ottieni un'altra funzione, non la stessa.
Ciò non implica obbligatoriamente che considerazioni successive, come può essere la derivabilità, siano per forza diverse tra le due però si deve andar cauti.
Cordialmente, Alex
Ciò non implica obbligatoriamente che considerazioni successive, come può essere la derivabilità, siano per forza diverse tra le due però si deve andar cauti.
Cordialmente, Alex
Non devi confondere la funzione con la sua rappresentazione come somme, prodotti e composizioni di altre funzioni. Una funzione non è altro che un insieme di coppie \((a,b)\subset D_f\times f(D_f)\). Il modo in cui la scrivi non influenza le sue caratteristiche come funzione.
Prendiamo la derivata prima, la derivata prima in un punto è definita come un limite del rapporto incrementale. Tutto quello che conta in questo limite sono i valori puntuali che la funzione assume e il loro limite. Non ha importanza come tu stai calcolando i valori.
Nota che nel corso di analisi matematica, si fa spesso un grosso abuso di notazione relativo alle funzioni. Infatti si tende a dire che una funzione è \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) anche se in realtà il dominio non è tutto \(\mathbb{R}\). Allo stesso tempo, una funzione potrebbe avere un dominio più ristretto di quello della composizione di funzioni su cui è espressa.
Detto questo, il dominio di una funzione non dipende da come tu abbia scritto la funzione e tanto meno da come tu abbia scritto la derivata prima. Inoltre l'insieme in cui una funzione è derivabile può essere strettamente più piccolo del dominio della formula con cui hai espresso la sua derivata.
Il tuo errore, comunque, è stato nello scrivere \(\displaystyle \log (x+1)^2 = 2\log (x+1) \) quando avresti dovuto scrivere \(\displaystyle \log (x+1)^2 = 2\log \rvert x+1\rvert \).
Prendiamo la derivata prima, la derivata prima in un punto è definita come un limite del rapporto incrementale. Tutto quello che conta in questo limite sono i valori puntuali che la funzione assume e il loro limite. Non ha importanza come tu stai calcolando i valori.
Nota che nel corso di analisi matematica, si fa spesso un grosso abuso di notazione relativo alle funzioni. Infatti si tende a dire che una funzione è \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) anche se in realtà il dominio non è tutto \(\mathbb{R}\). Allo stesso tempo, una funzione potrebbe avere un dominio più ristretto di quello della composizione di funzioni su cui è espressa.
Detto questo, il dominio di una funzione non dipende da come tu abbia scritto la funzione e tanto meno da come tu abbia scritto la derivata prima. Inoltre l'insieme in cui una funzione è derivabile può essere strettamente più piccolo del dominio della formula con cui hai espresso la sua derivata.
Il tuo errore, comunque, è stato nello scrivere \(\displaystyle \log (x+1)^2 = 2\log (x+1) \) quando avresti dovuto scrivere \(\displaystyle \log (x+1)^2 = 2\log \rvert x+1\rvert \).
Quindi posso calcolare la derivata come voglio e poi adattare il dominio alla fine?
No, non puoi. In generale, se la manipolazione algebrica ti restringe il dominio, ossia passi da $Dom(f)$ a un suo sottoinsieme $A\subset Dom(f)$, tutti i passaggi che seguono valgono esclusivamente in $A$ (o per meglio dire trovano una giustificazione in $A$).
Non esattamente.
Supponi di avere \(\displaystyle g(x) = h(x) \) per ogni \(\displaystyle x\in A \). Ora se tu sai che \(\displaystyle h(x) = h_2(x)\) per ogni \(x\in B \), puoi tranquillamente dire che \(\displaystyle g(x) = h_2(x) \) per ogni \(\displaystyle x\in A\cap B \). D'altra parte devi essere consapevole di cosa sia \(\displaystyle A\cap B \), se te ne dimentichi e poi "aggiusti" alla fine allora finirai per fare inevitabilmente errori. Come, tra l'altro, hai fatto nella prima discussione.
Insomma, io ho scritto \(\displaystyle \log ( x^2 + 2x + 1 ) = 2 \log \lvert x + 1\rvert \) e avresti potuto risolvere la derivata tenendo conto che \(\displaystyle D_x \lvert x \rvert = \frac{\lvert x\rvert}{x} \). Oppure avresti potuto osservare che \[ \log ( x^2 + 2x + 1 ) = \begin{cases} 2 \log (x + 1) & \mathrm{per } x > -1 \\ 2 \log (-x-1) & \mathrm{per } x < -1 \end{cases} \] e trovare la derivata separatamente per i due casi.
Supponi di avere \(\displaystyle g(x) = h(x) \) per ogni \(\displaystyle x\in A \). Ora se tu sai che \(\displaystyle h(x) = h_2(x)\) per ogni \(x\in B \), puoi tranquillamente dire che \(\displaystyle g(x) = h_2(x) \) per ogni \(\displaystyle x\in A\cap B \). D'altra parte devi essere consapevole di cosa sia \(\displaystyle A\cap B \), se te ne dimentichi e poi "aggiusti" alla fine allora finirai per fare inevitabilmente errori. Come, tra l'altro, hai fatto nella prima discussione.
Insomma, io ho scritto \(\displaystyle \log ( x^2 + 2x + 1 ) = 2 \log \lvert x + 1\rvert \) e avresti potuto risolvere la derivata tenendo conto che \(\displaystyle D_x \lvert x \rvert = \frac{\lvert x\rvert}{x} \). Oppure avresti potuto osservare che \[ \log ( x^2 + 2x + 1 ) = \begin{cases} 2 \log (x + 1) & \mathrm{per } x > -1 \\ 2 \log (-x-1) & \mathrm{per } x < -1 \end{cases} \] e trovare la derivata separatamente per i due casi.
Ok grazie mille a tutti
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