Riguardo la sommabilità
salve a tutti. sono sempre io. ho una domanda sulla sommabilità..per studiare la sommabilità normalmente io faccio delle maggiorazioni solo che mi chiedo quando ho una funzione molto complessa posso per caso usare gli sviluppi di taylor? se si in quali casi? per esempio mi trovo questa funzione :
studiare al variare di a e b la sommabilità in $(0,1) (3, +infty) (0,+infty)$di $(e^x - cos(x) +sin(2x^3))/ (x^a+3|sin2x^2|+xe^((x)^b))$ ho pensato che posso maggiorare sia seno che coseno che il valore assoluto ma non so se è la strada giusta. voi che dite? grazie mille!
studiare al variare di a e b la sommabilità in $(0,1) (3, +infty) (0,+infty)$di $(e^x - cos(x) +sin(2x^3))/ (x^a+3|sin2x^2|+xe^((x)^b))$ ho pensato che posso maggiorare sia seno che coseno che il valore assoluto ma non so se è la strada giusta. voi che dite? grazie mille!
Risposte
Secondo me ti conviene guardare gli ordini d'infinito/infinitesimo e tenere presenti i teoremi relativi all'ordine della somma, del prodotto e del rapporto di infiniti/infinitesimi.
ok per gli ordini a me verrebbe numeratore ordine 2 e denominatore non saprei bene..forse ordine a+b+1? mettiamo che sia vero allora dovrei discutere quando a+b+1>2 ecc? ora provo a rifarlo perchè non mi convince.
ok mi sa che ho sbagliato sarebbe 2 numeratore e a+b+3 denominatore? grazie scusate la petulanza.
ok mi sa che ho sbagliato sarebbe 2 numeratore e a+b+3 denominatore? grazie scusate la petulanza.
"ea2":
ok per gli ordini a me verrebbe numeratore ordine 2 e denominatore non saprei bene..forse ordine a+b+1? mettiamo che sia vero allora dovrei discutere quando a+b+1>2 ecc? ora provo a rifarlo perchè non mi convince.
ok mi sa che ho sbagliato sarebbe 2 numeratore e a+b+3 denominatore? grazie scusate la petulanza.
Gli ordini dove? In zero o in $+oo$?
a $+infty$
Al numeratore c'è $e^x$ che è evidentemente l'unico infinito: mettendolo il evidenza ottieni $e^x*(1-cosx/e^x+sin(2x^3)/e^x)$.
Al denominatore le cose sono un po' diverse e bisogna distinguere i casi $b>0$, $b= 0$ e $b<0$.
a) $b>0$: l'infinito d'ordine più elevato tra $x^a$ ed $xe^(x^b)$ è certamente il secondo per ogni scelta di $a in RR$ quindi mettendo in evidenza trovi $xe^(x^b)*(x^a/(xe^(x^b)) +3|sin2x^2|/(xe^(x^b)) +1)$; ne viene che:
$|f(x;a,b)|=e^x/(xe^(x^b))*|(1-cosx/e^x+sin(2x^3)/e^x)/(x^a/(xe^(x^b)) +3|sin2x^2|/(xe^(x^b)) +1)|= 1/(xe^(x^b-x))*|(1-cosx/e^x+sin(2x^3)/e^x)/(x^a/(xe^(x^b)) +3|sin2x^2|/(xe^(x^b)) +1)|$
quindi, se $b>1$, $|f|$ è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande in $+oo$ (e quindi $f$ è sommabile); se $b=1$ allora $|f|$ è un infinitesimo d'ordine $1$ ($f$ non sommabile); se $0
b) $b=0$: l'infinito al denominatore è d'ordine $max{1,a}$ ed in ogni caso è d'ordine finito; pertanto la $|f|$ è un infinito in $+oo$ d'ordine infinitamente elevato, a causa del numeratore, e perciò $f$ non è sommabile.
c) $b<0$: il denominatore è un infinito d'ordine $a$ se $a>0$, altrimenti è una funzione positiva limitata intorno a $+oo$, se $a=0$; ne viene che $|f|$ è conunque un infinito d'ordine infinitamente elevato in $+oo$ e pertanto $f$ non è sommabile.
Controlla bene che potrei aver sbagliato i conti.
Al denominatore le cose sono un po' diverse e bisogna distinguere i casi $b>0$, $b= 0$ e $b<0$.
a) $b>0$: l'infinito d'ordine più elevato tra $x^a$ ed $xe^(x^b)$ è certamente il secondo per ogni scelta di $a in RR$ quindi mettendo in evidenza trovi $xe^(x^b)*(x^a/(xe^(x^b)) +3|sin2x^2|/(xe^(x^b)) +1)$; ne viene che:
$|f(x;a,b)|=e^x/(xe^(x^b))*|(1-cosx/e^x+sin(2x^3)/e^x)/(x^a/(xe^(x^b)) +3|sin2x^2|/(xe^(x^b)) +1)|= 1/(xe^(x^b-x))*|(1-cosx/e^x+sin(2x^3)/e^x)/(x^a/(xe^(x^b)) +3|sin2x^2|/(xe^(x^b)) +1)|$
quindi, se $b>1$, $|f|$ è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande in $+oo$ (e quindi $f$ è sommabile); se $b=1$ allora $|f|$ è un infinitesimo d'ordine $1$ ($f$ non sommabile); se $0
b) $b=0$: l'infinito al denominatore è d'ordine $max{1,a}$ ed in ogni caso è d'ordine finito; pertanto la $|f|$ è un infinito in $+oo$ d'ordine infinitamente elevato, a causa del numeratore, e perciò $f$ non è sommabile.
c) $b<0$: il denominatore è un infinito d'ordine $a$ se $a>0$, altrimenti è una funzione positiva limitata intorno a $+oo$, se $a=0$; ne viene che $|f|$ è conunque un infinito d'ordine infinitamente elevato in $+oo$ e pertanto $f$ non è sommabile.
Controlla bene che potrei aver sbagliato i conti.
si penso che tu abbia fatto giusto. ok questo per quanto riguarda $+infty$ mentre invece a 0 iil ragionamento è sempre quello? grazie provo a farlo da solo
dunque al numeratore gli ordini sono 1 , 2 e 3 allora--> 1 al denominatore sono a, 2, b+1.
se a>2 e b>1 cioè l'ordine del denominatore è 2-->non è sommabile
se a>2 e b<1 cioè l'oridne del denominatore è b+1--> è sommabile se b<=0
se a>2 e b=1 cioè ordine del denominatore è >=2-> non sommabile
se a=2 e b>1 cioè l'ordine del denominatore è 2-->non è sommabile
se a=2 e b<1 cioè l'oridne del denominatore è b+1--> è sommabile se b<=0
se a=2 e b=1 cioè ordine del denominatore è >=2-> non sommabile
a<2 e b+1>2 l'ordine del denominatore è a --> se a>1 non è sommabile se a<1 è sommabile
a<2 e b+1<2 l'ordine del denominatore è a se ab+1 ed è sommabile
a<2 e b+1=2 l'ordine del denominatore è a ed è sommabile quando a<1
giusto? fatemelo sapere che mi interessa!
dunque al numeratore gli ordini sono 1 , 2 e 3 allora--> 1 al denominatore sono a, 2, b+1.
se a>2 e b>1 cioè l'ordine del denominatore è 2-->non è sommabile
se a>2 e b<1 cioè l'oridne del denominatore è b+1--> è sommabile se b<=0
se a>2 e b=1 cioè ordine del denominatore è >=2-> non sommabile
se a=2 e b>1 cioè l'ordine del denominatore è 2-->non è sommabile
se a=2 e b<1 cioè l'oridne del denominatore è b+1--> è sommabile se b<=0
se a=2 e b=1 cioè ordine del denominatore è >=2-> non sommabile
a<2 e b+1>2 l'ordine del denominatore è a --> se a>1 non è sommabile se a<1 è sommabile
a<2 e b+1<2 l'ordine del denominatore è a se a
a<2 e b+1=2 l'ordine del denominatore è a ed è sommabile quando a<1
giusto? fatemelo sapere che mi interessa!
ciao vediamo se ho capito. provo a scrivere un esercizio pero se riuscite fatemi sapere se è giusto.
$f(x)=(x-arctg(x))/x^a$ stabilire per quali a è sommabile in $(0,+infty)$
allora intanto in 0.. ho usato taylor.. e mi viene se$ a>4$ sommabile se$a<=4$ non sommabile
a $+infty$ ho preso gli ordini di infinito. al numeratore è 1 al denominatore a. se $a>2$ è sommabile se$ a<=2$ non è sommabile. aspetto conferma sperando di aver capito.visto che tra poco ho l'esame.
$f(x)=(x-arctg(x))/x^a$ stabilire per quali a è sommabile in $(0,+infty)$
allora intanto in 0.. ho usato taylor.. e mi viene se$ a>4$ sommabile se$a<=4$ non sommabile
a $+infty$ ho preso gli ordini di infinito. al numeratore è 1 al denominatore a. se $a>2$ è sommabile se$ a<=2$ non è sommabile. aspetto conferma sperando di aver capito.visto che tra poco ho l'esame.
ho riguardato il tutto e ci sono diversi errori secodno me . presto scrivero la mia soluzione. ovviamente e come sempre discutibile. ciao
"ea2":
ciao vediamo se ho capito. provo a scrivere un esercizio pero se riuscite fatemi sapere se è giusto.
$f(x)=(x-arctg(x))/x^a$ stabilire per quali a è sommabile in $(0,+infty)$
allora intanto in 0.. ho usato taylor.. e mi viene se$ a>4$ sommabile se$a<=4$ non sommabile
a $+infty$ ho preso gli ordini di infinito. al numeratore è 1 al denominatore a. se $a>2$ è sommabile se$ a<=2$ non è sommabile. aspetto conferma sperando di aver capito.visto che tra poco ho l'esame.
In $+oo$: numeratore infinito d'ordine $1$; denominatore infinito d'ordine $a$; rapporto num/den è infinitesimo solo se $a>1$ ed, in tal caso, è infinitesimo d'ordine esattamente $a-1$; affinché il rapporto sia integrabile occorre e basta che $a-1>1$, quindi $a>2$.
In $0$: numeratore infinitesimo d'ordine $3$; denominatore infinitesimo d'ordine $a$; rapporto num/den: è infinitesimo se $a<3$ esattamente d'ordine $3-a$, ha limite finito non nullo se $a=3$, è un infinito esattamente d'ordine $a-3$ se $a>3$; quindi il rapporto è sommabile in $0$ se $ale 3$ od anche se $a-3<1$, cioè se $a<4$.
Mettendo insieme i risultati hai sommabilità per $f(x;a)=(x-arctanx)/x^a$ per $2
Il tutto, ovviamente, da controllare.
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