Rifrazione della luce
Un raggio luminoso passa da un mezzo dove viaggia a velocità $c_1$ ad un altro mezzo nel quale viaggia a velocità $c_2$, separato dal primo da un piano (che prendiamo come $z=0$) connettendo due punti $A$ e $B$. Determinare il punto di rifrazione del raggio, utilizzando il principio di Fermat.
La mia soluzione è questa:
Prendo $A:=(0,l_1)$ con $l_1 > 0$ e
$B:=(h,-l_2)$ con $h>0$ e $l_2 >0$ e
il punto di rifrazione $P:=(x,0)$
Sappiamo già che devo minimizzare la seguente funzione $f(x)=\sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+\sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2$.
Quindi faccio la derivata e la pongo uguale a zero. Quando tento di ricavare la $x$ arrivo ad una equazione di quarto grado. Ma non c'è una via più semplice per trovare questa x?
La mia soluzione è questa:
Prendo $A:=(0,l_1)$ con $l_1 > 0$ e
$B:=(h,-l_2)$ con $h>0$ e $l_2 >0$ e
il punto di rifrazione $P:=(x,0)$
Sappiamo già che devo minimizzare la seguente funzione $f(x)=\sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+\sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2$.
Quindi faccio la derivata e la pongo uguale a zero. Quando tento di ricavare la $x$ arrivo ad una equazione di quarto grado. Ma non c'è una via più semplice per trovare questa x?
Risposte
Sappiamo anche che $\sqrt{(l_1)^2+x^2}$ è la distanza tra $A$ e $P$ mentre $\sqrt{(l_2)^2+(h-x)^2}$ è la distanza tra $P$ e $B$. Se io conoscessi in anticipo queste distanze, allora la $x$ la posso ricavare subito imponendo la derivata prima uguale a 0. Ma se io non conosco queste distanze, vado a sbattere su quella equazione di quarto grado. Qualche idea?
$f'(x)=\frac{x}{c_1sqrt(l_1^2+x^2)}-\frac{h-x}{sqrt(l_2^2+(h-x)^2} =0$
Cioè si ha la condizione
$\frac{PA}{c_1}=\frac{PB}{c_2}$
Da cui si ricava la legge di Snell rimaneggiando le distanze.
Secondo me puoi provare usando il principio di Erone https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Erone
Ma per trovare il punto preciso non so se sia possibile cavarsela facilmente !
Cioè si ha la condizione
$\frac{PA}{c_1}=\frac{PB}{c_2}$
Da cui si ricava la legge di Snell rimaneggiando le distanze.
Secondo me puoi provare usando il principio di Erone https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Erone
Ma per trovare il punto preciso non so se sia possibile cavarsela facilmente !
Ciao Pigreco2016,
Dalla tua impostazione mi pare di capire che l'angolo di incidenza $\theta_1 $ e quello di rifrazione $\theta_2 $ ti siano noti, quindi ti sono noti anche i rispettivi seni. Nella derivata si ha:
$ frac{x}{sqrt(l_1^2+x^2)} = sin\theta_1 $
$ frac{h-x}{sqrt(l_2^2+(h-x)^2)} = sin\theta_2 $
sostituendo il valore del seno dell'angolo si possono ottenere equazioni di secondo grado in $x$
Dai un'occhiata anche qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law
"Pigreco2016":
Qualche idea?
Dalla tua impostazione mi pare di capire che l'angolo di incidenza $\theta_1 $ e quello di rifrazione $\theta_2 $ ti siano noti, quindi ti sono noti anche i rispettivi seni. Nella derivata si ha:
$ frac{x}{sqrt(l_1^2+x^2)} = sin\theta_1 $
$ frac{h-x}{sqrt(l_2^2+(h-x)^2)} = sin\theta_2 $
sostituendo il valore del seno dell'angolo si possono ottenere equazioni di secondo grado in $x$
Dai un'occhiata anche qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law
Ora vi riporto il testo dell'esercizio:
"Un raggio luminoso passa da un mezzo dove viaggia con velocità $c_1$ ad un altro mezzo nel quale viaggia con velocità $c_2$, separato dal primo da un piano, connettendo due punti $A$ (giace nel primo mezzo) e $B$ (giace nel secondo mezzo). Determinare il punto di rifrazione del raggio, utilizzando il principio di Fermat dell'esercizio precedente".
Nell'esercizio precedente veniva richiesto di trovare il punto di riflessione (e qua sono riuscito a cavarmela).
Dal testo dell'esercizio io deduco che conosco solamente la posizione dei due punti e devo ricavare la posizione del punto di rifrazione, quindi non conosco né seno di angoli né distanze dei punti dal punto di rifrazione. Conoscendo i due punti e $A$ e $B$ (che prendo come nel mio primo messaggio) arrivo a ricercare gli zeri di quella derivata che mi porta ad una equazione di quarto grado veramente rognosa da risolvere! Quindi (dopo molto tempo) ho scelto di procedere in maniera inversa: cioè fisso il punto di rifrazione nell'origine del riferimento e e mi scelgo due punti a caso $A:=(x_0,y_0)$ $B:=(x_1,y_1)$. Il principio di Fermat mi dice che devo minimizzare la seguente funzione:
$f(x)=\sqrt{(x_0-x)^2+y_0^2}/c_1+sqrt{(x_1-x)^2+y_1^2}/c_2$. Ora dato che il punto di riflessione deve essere $x=0$, devo imporre la condizione $0=f'(0)$ che mi porta a
$\frac(x_0)(c_1\sqrt{x_0^2+y_0^2})-\frac(x_1)(c_2sqrt{x_1^2+y_1^2})=0$.
Ora quello che mi interessa è ricavare $x_0$ (cosa semplice) e mi trovo (supponendo che $A$ stia nel secondo quadrante e $B$ nel quarto quadrante):
$x_0=-\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2})$.
Dopo aver ricavato $x_0$, faccio un cambio di riferimento che mi porta $A:=(x_0,y_0)$ in $A':=(0,y_0)$ e $B:=(x_1,y_1)$ in $B':=(x_1-x_0,y_1)$. Ora posso formulare questo ragionamento: posso scegliere i due punti $A$ e $B$ come
$A:=(0,y_0)$ e $B:=(x_1+\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2}),y_1)$ e di conseguenza so che il punto di rifrazione è proprio $x:=\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2})$.
Voi che ne dite? In questa maniera riesco a ad evitare di risolvere l'equazione di quarto grado (sarebbe interessante verificare che quella equazione con i vincoli che impone il problema ha sempre due soluzioni complesse coniugate e due reali di cui una da escludere). L'unico inconveniente è che devo scegliere il punto $B$ in quella brutta maniera.
"Un raggio luminoso passa da un mezzo dove viaggia con velocità $c_1$ ad un altro mezzo nel quale viaggia con velocità $c_2$, separato dal primo da un piano, connettendo due punti $A$ (giace nel primo mezzo) e $B$ (giace nel secondo mezzo). Determinare il punto di rifrazione del raggio, utilizzando il principio di Fermat dell'esercizio precedente".
Nell'esercizio precedente veniva richiesto di trovare il punto di riflessione (e qua sono riuscito a cavarmela).
Dal testo dell'esercizio io deduco che conosco solamente la posizione dei due punti e devo ricavare la posizione del punto di rifrazione, quindi non conosco né seno di angoli né distanze dei punti dal punto di rifrazione. Conoscendo i due punti e $A$ e $B$ (che prendo come nel mio primo messaggio) arrivo a ricercare gli zeri di quella derivata che mi porta ad una equazione di quarto grado veramente rognosa da risolvere! Quindi (dopo molto tempo) ho scelto di procedere in maniera inversa: cioè fisso il punto di rifrazione nell'origine del riferimento e e mi scelgo due punti a caso $A:=(x_0,y_0)$ $B:=(x_1,y_1)$. Il principio di Fermat mi dice che devo minimizzare la seguente funzione:
$f(x)=\sqrt{(x_0-x)^2+y_0^2}/c_1+sqrt{(x_1-x)^2+y_1^2}/c_2$. Ora dato che il punto di riflessione deve essere $x=0$, devo imporre la condizione $0=f'(0)$ che mi porta a
$\frac(x_0)(c_1\sqrt{x_0^2+y_0^2})-\frac(x_1)(c_2sqrt{x_1^2+y_1^2})=0$.
Ora quello che mi interessa è ricavare $x_0$ (cosa semplice) e mi trovo (supponendo che $A$ stia nel secondo quadrante e $B$ nel quarto quadrante):
$x_0=-\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2})$.
Dopo aver ricavato $x_0$, faccio un cambio di riferimento che mi porta $A:=(x_0,y_0)$ in $A':=(0,y_0)$ e $B:=(x_1,y_1)$ in $B':=(x_1-x_0,y_1)$. Ora posso formulare questo ragionamento: posso scegliere i due punti $A$ e $B$ come
$A:=(0,y_0)$ e $B:=(x_1+\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2}),y_1)$ e di conseguenza so che il punto di rifrazione è proprio $x:=\frac(y_0x_1c_1)(\sqrt{x_1^2(c_2^2-c_1^2)+c_2^2y_1^2})$.
Voi che ne dite? In questa maniera riesco a ad evitare di risolvere l'equazione di quarto grado (sarebbe interessante verificare che quella equazione con i vincoli che impone il problema ha sempre due soluzioni complesse coniugate e due reali di cui una da escludere). L'unico inconveniente è che devo scegliere il punto $B$ in quella brutta maniera.
Ok, ci riprovo... 
Osserverei che $f(x) $ è la somma di due quantità sicuramente positive, quindi $f(x) \ge 0 $ ed il valore minimo è ovviamente $f = 0$, cioè
$ sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+ sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 = 0 \implies sqrt{l_1^2+x^2}/c_1 = - sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 $
Elevando al quadrato, con qualche accortezza, dovresti riuscire ad ottenere il valore di $x$
Osserverei che $f(x) $ è la somma di due quantità sicuramente positive, quindi $f(x) \ge 0 $ ed il valore minimo è ovviamente $f = 0$, cioè
$ sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+ sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 = 0 \implies sqrt{l_1^2+x^2}/c_1 = - sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 $
Elevando al quadrato, con qualche accortezza, dovresti riuscire ad ottenere il valore di $x$
Ma perché mi imponi uguale a zero la funzione che io devo minimizzare?
"Cantor99":
Cioè si ha la condizione
$\frac{PA}{c_1}=\frac{PB}{c_2}$
Questo secondo me non è giusto.
"Pigreco2016":
Ma perché mi imponi uguale a zero la funzione che io devo minimizzare?
Perché quella funzione $f(x) $ è sempre positiva o al più nulla, quindi è chiaro che il minimo si ha quando è nulla...
Non sono per niente d'accordo su questo. Quella $f(x)$ è somma di quantità sempre positive, e una somma di quantità positive è nulla se e solo se sono nulli tutti i termini della somma. In quel caso troverei che i punti $A$, $P$ e $B$ coincidono.
Sì scusami, mi correggo: è vero che $f \ge 0 $, ma la funzione proposta non assume il suo valore minimo $f = 0 $...
Però si può ragionare in questo modo:
$ f(x) = sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+ sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 = sqrt{(l_1/c_1)^2+(x/c_1)^2} + sqrt{(l_2/c_2)^2+((h-x)/c_2)^2} $
Consideriamo $ t(x) := sqrt{l_1^2+x^2} + sqrt{l_2^2+(h-x)^2} $
Minimizzare $t(x) $ è semplice; posto per comodità $a_1 := l_1 $, $a_2 := x $, $b_1 := l_2 $, $b_2 := (h-x) $, si ha:
$ sqrt{a_1^2+a_2^2} + sqrt{b_1^2+b_2^2} \ge sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} $
(disuguaglianza di Minkowsky) ove vale il segno di uguaglianza (minimo della funzione), se $ a_1/b_1 = a_2/b_2 $
Ci devo pensare meglio, ma dovrebbe essere possibile fare lo stesso discorso con $f(x) $ a meno dell'introduzione di un'opportuna omogeneizzazione delle variabili in modo che $a_2 + b_2 $ sia costante come accade per $t(x) $
Però si può ragionare in questo modo:
$ f(x) = sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+ sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 = sqrt{(l_1/c_1)^2+(x/c_1)^2} + sqrt{(l_2/c_2)^2+((h-x)/c_2)^2} $
Consideriamo $ t(x) := sqrt{l_1^2+x^2} + sqrt{l_2^2+(h-x)^2} $
Minimizzare $t(x) $ è semplice; posto per comodità $a_1 := l_1 $, $a_2 := x $, $b_1 := l_2 $, $b_2 := (h-x) $, si ha:
$ sqrt{a_1^2+a_2^2} + sqrt{b_1^2+b_2^2} \ge sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} $
(disuguaglianza di Minkowsky) ove vale il segno di uguaglianza (minimo della funzione), se $ a_1/b_1 = a_2/b_2 $
Ci devo pensare meglio, ma dovrebbe essere possibile fare lo stesso discorso con $f(x) $ a meno dell'introduzione di un'opportuna omogeneizzazione delle variabili in modo che $a_2 + b_2 $ sia costante come accade per $t(x) $
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