Riformulazione in un integrale ellittico completo 2a specie

[LeoSap]

Salve a tutti,

sono uno studente di ingegneria meccanica, drammaticamente impantanato nella tesi di laurea . Ovvero: sto realizzando un modello analitico del processo di elettrofilatura, nel quale un filamento polimerico è caricato elettricamente e libero di muoversi in un campo elettrico. Nella realizzazione del modello, mi sono imbattuto nel problema notoriamente divergente della repulsione elettrostatica all'interno di un corpo caricato uniformemente. Ovvero, la forza elettrostatica repulsiva esercitata da una prima sezione del filamento S1 su una seconda sezione S2 risulta proporzionale ad una funzione di prossimità definita dall'integrale

$C(r,L)=2/pi$ $int_0^(pi/2) 1/(1+((2 r)/L)^2 sin^2(phi))^(3/2) d phi

dove r è il raggio del filamento ed L la distanza fra le due sezioni S1 ed S2 considerate in prima approssimazione parallele.

Il problema è stato già affrontato da un gruppo di ricercatori polacchi, che in un articolo apparso sulla gazzetta dell'Accademia Polacca delle Scienze propongono, senza riportare alcuna dimostrazione, la semplificazione

$C(k)=$$2/pi 1/(1+(2/k)^2)$ $int_0^(pi/2) (1+(2/k)^2 sin^2(phi))^(1/2) d phi =2/pi 1/(1+(2/k)^2) E((2j)/k)=1/pi k/(pi sqrt(1+(k/2)^2)) E(1/sqrt(1+(k/2)^2))

con $k=L/r$ ed $E$ integrale ellittico completo di seconda specie

Le ho provate tutte: integrazione per parti, sostituzione di trigonometriche e via discorrendo. Ho anche cercato di documentarmi fra gli appunti e le dispense del sito, oltre che in giro nella rete, ma non sono riuscito a trovare riferimenti alle proprietà degli integrali ellittici che permettono di realizzare questi passaggi (soprattutto il primo dopo $C(k)$).

Evidentemente mi mancano le basi su questa famiglia di funzioni trascendenti Qualcuno è in grado di spiegarmi come si riesce ad arrivare al risultato?

[Lord K]

L'integrale ellittico di seconda specie completo è:

$E(k) = int_0^(pi/2)sqrt(1-k^2sin^2 theta) d theta$

Sei sicuro di quel più che cambia le cose?

[Lord K]

...In più poi se guardi l'integrale iniziale hai che:

$C(r,L) = 2/pi*int_0^(pi/2) [1+((2r)/L)^2*sin^2 theta]^(-3/2) d theta$

Che somiglia in particolare all'integrale ellittico completo di terza specie:

$Pi(n,k) = int_0^(pi/2) (d theta)/((1-n*sin^2 theta)*sqrt(1-k^2sin^2 theta))$

Anche se c'è sempre quel segno differente...

[LeoSap]

"Lord K":L'integrale ellittico di seconda specie completo è:

$E(k) = int_0^(pi/2)sqrt(1-k^2sin^2 theta) d theta$

Sei sicuro di quel più che cambia le cose?

$E((2j)/k) = int_0^(pi/2)sqrt(1-((2 j)/k)^2sin^2 theta) d theta = int_0^(pi/2)sqrt(1+4/k^2 sin^2 theta) d theta$

Il + appare perché l'argomento è complesso. Ma si tratta sempre di un ellittico completo di seconda specie...

[Lord K]

Ah ecco, non capivo cos'era quella "$j$" sorry.

[LeoSap]

"Lord K":...In più poi se guardi l'integrale iniziale hai che:

$C(r,L) = 2/pi*int_0^(pi/2) [1+((2r)/L)^2*sin^2 theta]^(-3/2) d theta$

Che somiglia in particolare all'integrale ellittico completo di terza specie:

$Pi(n,k) = int_0^(pi/2) (d theta)/((1-n*sin^2 theta)*sqrt(1-k^2sin^2 theta))$

Usiamo $lambda=L/r$, per non fare confusione con il coefficiente $k$ tipicamente usato negli integrali ellittici.

Sì, in effetti non avevo notato che si può esprimere direttamente come un ellittico completo di terza specie con $n=k^2$. Non sarebbe però risolutivo, dal momento che

$C(lambda)=1/pi lambda/(pi sqrt(1+(lambda/2)^2)) E(1/sqrt(1+(lambda/2)^2))

permette di ridurre da 2 a 1 il grado della singolarità della repulsione elettrostatica, dal momento che diventa

$F_e(lambda)=-k_e (Q_1 Q_2)/(r^2 lambda^2) C(lambda)=-k_e (Q_1 Q_2)/(r^2 lambda) 1/pi 1/(pi sqrt(1+(lambda/2)^2)) E(1/sqrt(1+(lambda/2)^2))

e si comporta quindi vicino allo zero come $1/x$ anziché come $1/x^2$

[Lord K]

Purtroppo la spiegazione matematica non sono riuscito a trovarla per quelle uguaglianze... la curiosità però è molta ed inviterei gli amici del forum che ne sanno un poco di più a darci un hint!