Riformulazione di un problema [approssimazione di funzione]

[freddofede]

$y=\alpha e^(-\lambda t)$

Voi come lo riformulereste in maniera polinomiale (deduco approssimandolo)? Esiste un'alternativa a Taylor/Mac Laurin?

[Lord K]

Io guarderei il problema come soluzione dell'equazione differenziale:

$y'=-1/lambday$

e poi considererei la derivata $y'$ come variazione, ovvero:

$lim_(Delta t rightarrow 0) (y(t+Delta t)-y(t))/(Delta t) = y'$

Suddivido l'intervallo ove devo approssimare in $n$ punti:

$(y_(n+1)-y_n)/(t_(n+1)-t_n) = -1/lambda*y_n$

Da cui l'equazione "discreta":

${(y_(n+1)= -1/lambda*y_n*(t_(n+1)-t_n)+y_n),(y_0=beta):}$

Ovvio che il mio è solo una idea e non si basa su null'altro che non un poca di intuizione... anche se ora sembra che tutto torni verso Taylor e compagnia bella. Questo ovviamente anche perchè se due funzioni approssimano una terza, si approssimano tra di loro

[freddofede]

L'intuizione è interessante, ma mi pare troppo elaborata per il livello dell'esercizio. Ci vorrebbe un qualcosa di più semplice, se esiste.
Il problema è questo: devo in pratica riformulare il problema in maniera polinomiale; poi, avendo alcune misurazioni sperimentali in ingresso sul fenomeno modellizzato dalla legge in questione, stimare i coefficienti del polinomio ai minimi quadrati e ricavarmi da questi una stima di $\alpha$ e $\lambda$ (che mi sono dimenticato di specificare costanti e strettamente positivi).

Nell'immagine ci sono le misure, la retta del problema riformulato polinominialmente, e la legge iniziale applicata con i coefficienti stimati. Quella che mi preoccupa è quest'ultima: si vede che approssima bene solo all'inizio. Penso sia dovuto al fatto che ho usato MacLaurin per riformulare polinomialmente... ho provato a usare Taylor con punto iniziale 5 ma mi viene una cosa abbastanza orrenda come curva d'approssimazione.
A questo punto non vorrei aver sbagliato la formulazione, controllate voi:
$y=\alpha(e^5+e^5(-\lambda t - 5))=-\alpha\lambda e^5 t - 4\alpha$

[Lord K]

L'approssimazione è però solo locale! Ovvero detto $x_0$ il punto di approssimazione allora nell'intorno $U_(x_0)$ ho che vale che $|T(f)-f(x)|

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[freddofede]

"Lord K":L'approssimazione è però solo locale! Ovvero detto $x_0$ il punto di approssimazione allora nell'intorno $U_(x_0)$ ho che vale che $|T(f)-f(x)|

Lo so, appunto cercavo di meglio. Avevo pensato al polinomio di Hermite ma mi sembra troppo complicato...

[Lord K]

Cosa intendi per "meglio" ???

[freddofede]

... con approssimazione non solo locale?

[Fioravante Patrone1]

Ciao, vecio (del forum).
Visto che manchi da un po', forse non sei al corrente delle niùs.
- I titoli non possono essere così generici.
- La cattiveria media dei moderatori ha avuto una impennata.
Io cerco di essere il più buono possibile, e quindi ti ho modificato mea sponte il titolo. Ma mi raccomando, che non succeda più

[freddofede]

Ero aggiornato ma non sembrava così generico (il che conferma la 2 ).