Riformulazione di un problema [approssimazione di funzione]

freddofede
$y=\alpha e^(-\lambda t)$

Voi come lo riformulereste in maniera polinomiale (deduco approssimandolo)? Esiste un'alternativa a Taylor/Mac Laurin?

Risposte
Lord K
Io guarderei il problema come soluzione dell'equazione differenziale:

$y'=-1/lambday$

e poi considererei la derivata $y'$ come variazione, ovvero:

$lim_(Delta t rightarrow 0) (y(t+Delta t)-y(t))/(Delta t) = y'$

Suddivido l'intervallo ove devo approssimare in $n$ punti:

$(y_(n+1)-y_n)/(t_(n+1)-t_n) = -1/lambda*y_n$

Da cui l'equazione "discreta":

${(y_(n+1)= -1/lambda*y_n*(t_(n+1)-t_n)+y_n),(y_0=beta):}$

Ovvio che il mio è solo una idea e non si basa su null'altro che non un poca di intuizione... anche se ora sembra che tutto torni verso Taylor e compagnia bella. Questo ovviamente anche perchè se due funzioni approssimano una terza, si approssimano tra di loro :P

freddofede
L'intuizione è interessante, ma mi pare troppo elaborata per il livello dell'esercizio. Ci vorrebbe un qualcosa di più semplice, se esiste.
Il problema è questo: devo in pratica riformulare il problema in maniera polinomiale; poi, avendo alcune misurazioni sperimentali in ingresso sul fenomeno modellizzato dalla legge in questione, stimare i coefficienti del polinomio ai minimi quadrati e ricavarmi da questi una stima di $\alpha$ e $\lambda$ (che mi sono dimenticato di specificare costanti e strettamente positivi).

Nell'immagine ci sono le misure, la retta del problema riformulato polinominialmente, e la legge iniziale applicata con i coefficienti stimati. Quella che mi preoccupa è quest'ultima: si vede che approssima bene solo all'inizio. Penso sia dovuto al fatto che ho usato MacLaurin per riformulare polinomialmente... ho provato a usare Taylor con punto iniziale 5 ma mi viene una cosa abbastanza orrenda come curva d'approssimazione.
A questo punto non vorrei aver sbagliato la formulazione, controllate voi:
$y=\alpha(e^5+e^5(-\lambda t - 5))=-\alpha\lambda e^5 t - 4\alpha$

Lord K
L'approssimazione è però solo locale! Ovvero detto $x_0$ il punto di approssimazione allora nell'intorno $U_(x_0)$ ho che vale che $|T(f)-f(x)|

freddofede
"Lord K":
L'approssimazione è però solo locale! Ovvero detto $x_0$ il punto di approssimazione allora nell'intorno $U_(x_0)$ ho che vale che $|T(f)-f(x)|

Lo so, appunto cercavo di meglio. Avevo pensato al polinomio di Hermite ma mi sembra troppo complicato...

Lord K
Cosa intendi per "meglio" ???

freddofede
... con approssimazione non solo locale?

Fioravante Patrone1
Ciao, vecio (del forum).
Visto che manchi da un po', forse non sei al corrente delle niùs.
- I titoli non possono essere così generici.
- La cattiveria media dei moderatori ha avuto una impennata.
Io cerco di essere il più buono possibile, e quindi ti ho modificato mea sponte il titolo. Ma mi raccomando, che non succeda più :-D

freddofede
Ero aggiornato :) ma non sembrava così generico (il che conferma la 2 :-)).

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