Riflessionoi sulla completezza
Il mio testo dice:
$ (C_[[-1,1]]^[per],||*||_[oo]) $ è completo (quell insieme è quello delle funzioni continue con $f(-1)=f(1)$
$ (C_[[-1,1]]^[per],||*||_[2]) $ non è completo (la norma qui è quell L2)
Se volessi trovare un esempio per dimostrare che la seconda non è effettivamente completa, posso prendere:
$f_n(x)=x^n$??
infatti questa tende in norma L2 al suo limite che però non appartiene a X..
invece se considero tale successione in $ (L^2,||*||_[2]) $ a questo punto il limite è dentro, infatti $L^2$ è completo..
mi viene allora da supporre che per rendere completo uno spazio si possa sia "togliere" che "Mettere", cioò o si aggiungono i limiti di tutte le successioni di cauchy oppure si tolgono gli elementi critici che causano successioni di cauchy senza limite, insomma la completezza più che essere una misura di dimensione è un punto di "equilibrio"...
$ (C_[[-1,1]]^[per],||*||_[oo]) $ è completo (quell insieme è quello delle funzioni continue con $f(-1)=f(1)$
$ (C_[[-1,1]]^[per],||*||_[2]) $ non è completo (la norma qui è quell L2)
Se volessi trovare un esempio per dimostrare che la seconda non è effettivamente completa, posso prendere:
$f_n(x)=x^n$??
infatti questa tende in norma L2 al suo limite che però non appartiene a X..
invece se considero tale successione in $ (L^2,||*||_[2]) $ a questo punto il limite è dentro, infatti $L^2$ è completo..
mi viene allora da supporre che per rendere completo uno spazio si possa sia "togliere" che "Mettere", cioò o si aggiungono i limiti di tutte le successioni di cauchy oppure si tolgono gli elementi critici che causano successioni di cauchy senza limite, insomma la completezza più che essere una misura di dimensione è un punto di "equilibrio"...
Risposte
Ma le tue \(f_n\) non soddisfano la condizione di periodicità...
Pardon, $x^[2n]$...
Ah, adesso sì... 
Però permettimi una nota su questa riflessione:
L'intuizione è errata.
Infatti, completare uno spazio vuol dire sempre "aggiungere degli elementi"; se li levassi, cambieresti lo spazio in maniera da far diventare ancora più complicate le cose che devi fare.
Ora sono un po' di corsas; più tardi provo a spiegarmi meglio.
Però permettimi una nota su questa riflessione:
"Daniele Florian":
mi viene allora da supporre che per rendere completo uno spazio si possa sia "togliere" che "Mettere", cioò o si aggiungono i limiti di tutte le successioni di cauchy oppure si tolgono gli elementi critici che causano successioni di cauchy senza limite, insomma la completezza più che essere una misura di dimensione è un punto di "equilibrio"...
L'intuizione è errata.
Infatti, completare uno spazio vuol dire sempre "aggiungere degli elementi"; se li levassi, cambieresti lo spazio in maniera da far diventare ancora più complicate le cose che devi fare.
Ora sono un po' di corsas; più tardi provo a spiegarmi meglio.
Cioè, sono d accordo che il "completamento" avviene aggiungendo punti, ma quello che dicevo in fondo mi sembra corretto, anche perchè mi sono accorto solo ora di come un altro esempio siano Z, Q e R, inclusi strettamente l uno nell altro ma dove quello centrale non è completo, gli altri due si.
Comunque sono d accordo che mi sono spiegato malissimo, l importante è che vada bene la successione, grazie mille.
Comunque sono d accordo che mi sono spiegato malissimo, l importante è che vada bene la successione, grazie mille.
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