Rienmann

[matematicoestinto]

Ciao a tutti

Potete dirmi le condizioni necessarie, sufficienti e necessarie e sufficienti affinche f sia R-integrabile?

Ad esempio non ho capito bene se una funzione che presenta un infinità numerabile di punti di discontinuità in un intervallo chiuso sia r-integrabile in quell'intervallo

Grazie

[f.bisecco]

Secondo rienmann se una funzione è continua in un intervallo [a,b] essa è integrabile in tale intervallo. Questa perciò è una condizione necessaria e sufficiente!!
Un tipo di funzione abbastanza famosa che è discontinua ovunque, ma esiste in tutto R è la funzione di Dirichlet la quale ha valore 1 se x è irrazionale e 0 se x è razionale. Un altro matematico di nome Lebesgue introduce un nuovo concetto di integrale per il quale è possibile integrare anche funzioni simili a quella sopra citata...Ma il concetto è diverso....

[Sk_Anonymous]

"f.bisecco":Secondo rienmann se una funzione è continua in un intervallo [a,b] essa è integrabile in tale intervallo. Questa perciò è una condizione necessaria e sufficiente!!

No, quella è soltanto una condizione sufficiente. La funzione $[0, 1] \to RR$ definita ponendo $f(x) = 0$, se $0 \le x < 1$, ed $f(1) = 1$ è Riemann-integrabile in $[0,1]$, eppure non mi pare sia continua...

[Luca D.1]

"DavidHilbert":[quote="f.bisecco"]Secondo rienmann se una funzione è continua in un intervallo [a,b] essa è integrabile in tale intervallo. Questa perciò è una condizione necessaria e sufficiente!!

No, quella è soltanto una condizione sufficiente. La funzione $[0, 1] \to RR$ definita ponendo $f(x) = 0$, se $0 \le x < 1$, ed $f(1) = 1$ è Riemann-integrabile in $[0,1]$, eppure non mi pare sia continua...[/quote]

Questo per il fatto che calcolare l'integrale in $[0, 1]$ è uguale che calcolarlo in $[0, 1)$ ?
Posso chiederti che parte della teoria sul calcolo integrale dimostra che un numero finito di punti di discontinuità non pregiudica l'integrabilità e che quindi una funzione continua eccetto che per un numero finito di punti di discontinuità è integrabile?
Grazie!

[Sk_Anonymous]

Il calcolo integrale è figlio della teoria della misura, e di conseguenza gli spazi di misura sono gli ambienti più naturali ove introdurlo e svilupparlo. Se si parla di funzioni Riemann-integrabile, la misura coinvolta, in particolare, è la P-J, dalle iniziali di G. Peano e C. Jordan. Dimostrare che una funzione $[a,b] \to RR$ continua a meno che in un numero finito di discontinuità di prima specie è Riemann-integrabile in $[a,b]$ è un risultato riportato su ogni libro di analisi appena degno di minzione. Bada bene, ho scritto minzione, e non di certo per errore di stampa.

[blackdie]

"DavidHilbert":...ho scritto minzione, e non di certo per errore di stampa....

[f.bisecco]

Hai ragione è solo condizione sufficiente...