Riemann Vs Lebesgue
Ho incontrato su un testo questo passaggio, che mi ha un pò stupito:
Va detto che, mentre con Lebesgue molti problemi sono risolti, alcuni altri sorprendentemente ap-
paiono: ad esempio, come vedremo in seguito, la funzione di Dirichlet $sin(x)/x$ non è Lebesgue-integrabile su
$RR$ pur essendo Riemann-integrabile in senso generalizzato.
l integrale mi pare converga (non assolutamente ma in un certo senso "alla leibniz" versione integrale), però non capisco dove sorga il problema con lebesgue...
Va detto che, mentre con Lebesgue molti problemi sono risolti, alcuni altri sorprendentemente ap-
paiono: ad esempio, come vedremo in seguito, la funzione di Dirichlet $sin(x)/x$ non è Lebesgue-integrabile su
$RR$ pur essendo Riemann-integrabile in senso generalizzato.
l integrale mi pare converga (non assolutamente ma in un certo senso "alla leibniz" versione integrale), però non capisco dove sorga il problema con lebesgue...
Risposte
Detto in maniera semplice, il problema è che si dicono integrabili à la Lebesgue quelle funzioni per le quali esiste finito il numero \(\int_X |f(x)|\ \text{d} x\) (sicché serve assoluta convergenza degli integrali, mentre per l'integrabilità à la Riemann in senso generalizzato basta la convergenza semplice di un integrale improprio), il che equivale a dire che \(f\) è integrabile à la Lebsgue se e solo se esistono entrambi finiti gli integrali delle funzioni positive:
\[
\int_X f^+(x)\ \text{d} x \qquad \text{e}\qquad \int_X f^-(x)\ \text{d} x
\]
(in cui \(f^+ (x):= \max \{ f(x),0\}\) ed \(f^-(x) := \max \{-f(x),0\}\) sono la parte positiva e parte negativa di \(f\)).
Quindi \(\frac{\sin x}{x}\) non è integrabile à la Lebesgue su \([0,\infty[\), mentre lo è secondo Riemann.
\[
\int_X f^+(x)\ \text{d} x \qquad \text{e}\qquad \int_X f^-(x)\ \text{d} x
\]
(in cui \(f^+ (x):= \max \{ f(x),0\}\) ed \(f^-(x) := \max \{-f(x),0\}\) sono la parte positiva e parte negativa di \(f\)).
Quindi \(\frac{\sin x}{x}\) non è integrabile à la Lebesgue su \([0,\infty[\), mentre lo è secondo Riemann.
[ot]
Credo che la forma corretta sia à la, con l'accento sulla prima a (serve per distinguere tale preposizione dalla terza persona singolare di avoir, che è il a. In alternativa, si può anche non mettere nulla - seguendo una tradizione più british.[/ot]
"gugo82":
[...] si dicono integrabili a là Lebesgue quelle funzioni [...]
[...] è integrabile a là Lebsgue se e solo [...]
Credo che la forma corretta sia à la, con l'accento sulla prima a (serve per distinguere tale preposizione dalla terza persona singolare di avoir, che è il a. In alternativa, si può anche non mettere nulla - seguendo una tradizione più british.[/ot]
E pure hai ragione, Paolo...
Infatti mi sembrava che fosse solo un problema "di definizione", però ora mi viene un dubbbio.
Ora, non che voglia mettere in discussione la teoria di lebesgue in 5 minuti
però questa definizione non toglie qualcosa a riemann, e in particolare, non si potrebbe coniugare le due cose?
intendo dire che comunque se sappiamo che quell integrale infinito converge perchè la teoria di lebesgue dovrebbe escluderlo? sarà che forse non mi rendo conto della difficoltà formale che assumerebbe una teoria che prenda il meglio "sia di qua che di là"...
Ora, non che voglia mettere in discussione la teoria di lebesgue in 5 minuti
però questa definizione non toglie qualcosa a riemann, e in particolare, non si potrebbe coniugare le due cose?intendo dire che comunque se sappiamo che quell integrale infinito converge perchè la teoria di lebesgue dovrebbe escluderlo? sarà che forse non mi rendo conto della difficoltà formale che assumerebbe una teoria che prenda il meglio "sia di qua che di là"...
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