Riemann-Lebesgue

[kika_17]

Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio, per favore?

"Enunciare il teorema di Riemann-Lebesgue e illustrarlo con l'esempio della funzione
$ f(x) = 1/(1+x^2)$ "

Allora,
il teorema afferma che la trasformata di Fourier (o Laplace) di una funzione integrabile si annulla all'infinito.

Ma come faccio a dimostrarlo usando la funzione data?

Grazie

[gabriella127]

Corregimi se mi sbaglio, ma credo che tu abbia frainteso il testo dell'esercizio.
L'esercizio non ti chiede di dimostrare il teorema, men che mai usando la funzione data.
Ti chiede di illustrare il teorema usando la funzione data, cioè fare un esempio con quella funzione applicandovi il teorema, cioè farne la trasformata di Fourier e far vedere che si annulla all'infinito.

[kika_17]

oooooooooooooooooops ... eh si, hai perfettamente ragione

quindi scrivo l'enunciato poi

$ F (f(x)) = 1/(sqrt(2pi)) * int_{-infty}^{infty} (e^(-ikx)/(1+x^2)^2) dx $

per k che tende all'infinito l'esponenziale va a zero quindi la trasformata di Fourier della mia funzione va a zero.

è corretto?

[dissonance]

Mica l'esponenziale "va a zero". Occhio a quella \(i\). La funzione \(e^{ikx}\) descrive un numero complesso di modulo unitario (se sei un ingegnere forse lo chiami "fasore", vero?) che gira e gira continuamente al crescere di \(k\). (A meno che \(x=0\), chiaramente.)

[kika_17]

No, non sono un ingegnere.
ok...Quindi devo considerare il modulo della funzione?

[dissonance]

Peggio ancora. In quel caso ti viene una cosa che non dipende proprio da \(k\). Le cose, chiaramente, sono due: o calcoli *esplicitamente* la trasformata di Fourier che ti viene richiesta, verificando direttamente che è infinitesima per \(k\to\pm\infty\), oppure dovresti sostanzialmente dimostrare il lemma di Riemann-Lebesgue.

[gugo82]

@ kika_17: Il calcolo esplicito di quella trasformata lì (qual è la definizione che adotti?) non è impossibile, prova.

@ dissonance: Non credo che gli ingegneri, oggi come oggi, diano molta importanza al lemma di Riemann-Lebesgue...