Rieccomi
Salve sono Troy Mclur forse vi ricorderete di me per operazioni del tipo come risolvere gli integrali doppi usando le coordinate polari o stabilire se un campo e irrotazionale......
a parte gli scherzi sono costretto a chiedere l'aiuto di qualcuno a distanza di qualche mese dall'ultima volta perchè gli esami di matematica sembrano non voler finire mai.
a proposito a quell'esame ho raccolto un discreto 23 e mi sembra doveroso ringraziare goblyn, camillo fireball e tutti quelli che hanno cercato di aiutarmi.
questa volta c'è qualche problemino con i sistemi di equazioni differenziali e con fourier e a tal proposito voglio proporvi 3 quesiti.
1)
in questo quesito ho scritto passo passo come ho lavorato spero si non annoiarvi nella spiegazione....
ho una f(x) del tipo - valore assoluto x + pi/2 definita tra - pi/2 e pi/2. di questa vanno determinati i coefficienti di fourier. disegnando la f(x) risulta pari per cui bn = 0 mentre calcolando viene a0 = pi/2. il problema sta in an visto che scaturisce dalla formula: bn = 2/pi * integrale tra -pi/2 e pi/2 della f(x)* cos(2nx) in dx. ho iniziato a svolgerlo e ho sdoppiato la funzione valore assoluto in due intervalli rispettivamente tra -pi/2 e 0 e tra 0 e pi/2. i due integrali sono simili e per svolgerli ho usato il metodo per parti ponendo per il primo integrale f(x) = x + pi/2 da cui f'(x) = 1 e g'(x) = cos(2nx) da cui g(x) = i/2n * sen(2nx). adesso nasce il problema perchè in entrambi gli intervalli la parte che consiste in f*g mi da zero come da risultato mentre quando calcolo l'integrale di f'*g sia nel primo che nel secondo caso ottengo che la loro somma è pari a zero mentre da risultato dovrei avere 1/n*n*pi - (1/n*n*pi)*cos(npi)
Sapete dirmi dove sbaglio?
2) considerato il sistea di equazioni differenziali:
x'' + 3x + y - z = 0
y'' - x + 5y + z = 0
z'' - 2x + 2y + 4z = 0
calcolare gli autovalori
io ho usato la formula di sarrus per il determinante che è più macchinosa di quella di gauss ma dovrebbe essere più sicura però ottengo autovalori del tipo -3, -4, -5 quando da risultato dovrebbero essere 2, 4, 6,
3) dato il sistema di equazioni differenziali:
x'' + 2x = 1
y'' - 3x + 25y = 5
ho ottenuto autovalori pari a -2 e -25 che risultano corretti, autovettori pari a ( 23 3 ) e (0 1) anch'essi corretti e da questi ho ricavato la matrice diagonalizzante. potrei sapere come si ottengono le soluzioni del sistema omogeneo associato e le soluzioni del sistema non omogeneo?
ho usato il metodo che conosco ma ottengo soluzioni in coseno e seno mentre da risultato è espresso tutto in forma di coseno perchè?
Forse ho chiesto l'impossibile....
comunque io spero sempre nella vostra risposta e per questo ringrazio anticipatamente e mi scuso per il disturbo
ciao
steven17
a parte gli scherzi sono costretto a chiedere l'aiuto di qualcuno a distanza di qualche mese dall'ultima volta perchè gli esami di matematica sembrano non voler finire mai.
a proposito a quell'esame ho raccolto un discreto 23 e mi sembra doveroso ringraziare goblyn, camillo fireball e tutti quelli che hanno cercato di aiutarmi.
questa volta c'è qualche problemino con i sistemi di equazioni differenziali e con fourier e a tal proposito voglio proporvi 3 quesiti.
1)
in questo quesito ho scritto passo passo come ho lavorato spero si non annoiarvi nella spiegazione....
ho una f(x) del tipo - valore assoluto x + pi/2 definita tra - pi/2 e pi/2. di questa vanno determinati i coefficienti di fourier. disegnando la f(x) risulta pari per cui bn = 0 mentre calcolando viene a0 = pi/2. il problema sta in an visto che scaturisce dalla formula: bn = 2/pi * integrale tra -pi/2 e pi/2 della f(x)* cos(2nx) in dx. ho iniziato a svolgerlo e ho sdoppiato la funzione valore assoluto in due intervalli rispettivamente tra -pi/2 e 0 e tra 0 e pi/2. i due integrali sono simili e per svolgerli ho usato il metodo per parti ponendo per il primo integrale f(x) = x + pi/2 da cui f'(x) = 1 e g'(x) = cos(2nx) da cui g(x) = i/2n * sen(2nx). adesso nasce il problema perchè in entrambi gli intervalli la parte che consiste in f*g mi da zero come da risultato mentre quando calcolo l'integrale di f'*g sia nel primo che nel secondo caso ottengo che la loro somma è pari a zero mentre da risultato dovrei avere 1/n*n*pi - (1/n*n*pi)*cos(npi)
Sapete dirmi dove sbaglio?
2) considerato il sistea di equazioni differenziali:
x'' + 3x + y - z = 0
y'' - x + 5y + z = 0
z'' - 2x + 2y + 4z = 0
calcolare gli autovalori
io ho usato la formula di sarrus per il determinante che è più macchinosa di quella di gauss ma dovrebbe essere più sicura però ottengo autovalori del tipo -3, -4, -5 quando da risultato dovrebbero essere 2, 4, 6,
3) dato il sistema di equazioni differenziali:
x'' + 2x = 1
y'' - 3x + 25y = 5
ho ottenuto autovalori pari a -2 e -25 che risultano corretti, autovettori pari a ( 23 3 ) e (0 1) anch'essi corretti e da questi ho ricavato la matrice diagonalizzante. potrei sapere come si ottengono le soluzioni del sistema omogeneo associato e le soluzioni del sistema non omogeneo?
ho usato il metodo che conosco ma ottengo soluzioni in coseno e seno mentre da risultato è espresso tutto in forma di coseno perchè?
Forse ho chiesto l'impossibile....
comunque io spero sempre nella vostra risposta e per questo ringrazio anticipatamente e mi scuso per il disturbo
ciao
steven17
Risposte
an=2/pi*int((-x+pi/2)cos(2nx),[-pi/2,0])+2/pi*int((x+pi/2)cos(2nx),[0,pi/2])=
=-2/pi*int(-xcos(2nx),[-pi/2,0])+int(cos(2nx),[-pi/2,0])+
+2/pi*int(xcos(2nx),[0,pi/2])+int(cos(2nx),[0,pi/2])=
2/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])+4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])=4/pi*int(d(sin(2nx)/(2nx),[0,pi/2])=
=4/pi*(xsin(2nx)/(2n),[0,pi/2])-4/pi*int(sin(2nx)/(2n),[0.pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=-4/pi*(-cos(2nx)/(4n^2),[0,pi/2])=1/(pi*n^2)*cos(n*pi)-1/(pi*n^2).
Il risultato e' proprio l'opposto di quello da te indicato ma sembra
in linea con quello che ho trovato su una tabella di serie di Fourier
per una funzione del tutto simile alla tua.(Spero di non aver sbagliato).
Per gli altri quesiti, i miei ricordi in proposito sono assai vaghi.
karl.
=-2/pi*int(-xcos(2nx),[-pi/2,0])+int(cos(2nx),[-pi/2,0])+
+2/pi*int(xcos(2nx),[0,pi/2])+int(cos(2nx),[0,pi/2])=
2/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])+4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])=4/pi*int(d(sin(2nx)/(2nx),[0,pi/2])=
=4/pi*(xsin(2nx)/(2n),[0,pi/2])-4/pi*int(sin(2nx)/(2n),[0.pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=-4/pi*(-cos(2nx)/(4n^2),[0,pi/2])=1/(pi*n^2)*cos(n*pi)-1/(pi*n^2).
Il risultato e' proprio l'opposto di quello da te indicato ma sembra
in linea con quello che ho trovato su una tabella di serie di Fourier
per una funzione del tutto simile alla tua.(Spero di non aver sbagliato).
Per gli altri quesiti, i miei ricordi in proposito sono assai vaghi.
karl.
dove e' scritto:
2/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])+4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])=4/pi*int(d(sin(2nx)/(2nx),[0,pi/2])
leggere:
2/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])+4/pi*int(x*cos(2nx),[0,pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=4/pi*int(x*cos(2nx),[0,pi/2])=4/pi*int(x*d(sin(2nx)/(2n),[0,pi/2])
Scusami per la confusione.
karl.
2/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])+4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=4/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])=4/pi*int(d(sin(2nx)/(2nx),[0,pi/2])
leggere:
2/pi*int(cos(2nx),[0,pi/2])+4/pi*int(x*cos(2nx),[0,pi/2]).
Il primo integrale e' nullo,quindi:
an=4/pi*int(x*cos(2nx),[0,pi/2])=4/pi*int(x*d(sin(2nx)/(2n),[0,pi/2])
Scusami per la confusione.
karl.
grazie karl ora provo a risvolgerlo seguendo i tuoi consigli
Ho realizzato qualche altra cosa (non so quanto
attuale).
2)l'equazione caratteristica e':
3-k 1 -1
-1 5-k 1 =0
-2 2 4-k
da cui,con Gauss o con Sarrus,si ha:
(3-k)[(5-k)(4-k)-2]-1[-4+k+2]-1[-2+10-2k]=0
ovvero:
(3-k)(k^2-9k+18)+(k-6)=0 da cui:
(3-k)(k-6)(k-3)+(k-6)
(k-6)(3k-9-k^2+3k+1)=0
(k-6)(-k^2+6k-8)=0 e risolvendo:
k1=2,k2=4,k3=6 C.V.D.
3)la soluzione generale di un'equazione diff.
non omogenea si ottiene sommando alla soluzione
generale dell'equaz. omogenea associata una soluzione
particolare.
Nel nostro caso poiche' la prima equaz. del sistema
ha la soluzione evidente x=1/2,bastera' risolvere
l'equaz. x"+2x=0 e aggiungervi 1/2.
Francamente non ricordo se questo vale anche per i sistemi.
Il resto delle tue domande richiede ,praticamente,una
trattazione sui sistemi di equaz. differenziali (lineari).
Robetta da ....brividi.
karl.
attuale).
2)l'equazione caratteristica e':
3-k 1 -1
-1 5-k 1 =0
-2 2 4-k
da cui,con Gauss o con Sarrus,si ha:
(3-k)[(5-k)(4-k)-2]-1[-4+k+2]-1[-2+10-2k]=0
ovvero:
(3-k)(k^2-9k+18)+(k-6)=0 da cui:
(3-k)(k-6)(k-3)+(k-6)
(k-6)(3k-9-k^2+3k+1)=0
(k-6)(-k^2+6k-8)=0 e risolvendo:
k1=2,k2=4,k3=6 C.V.D.
3)la soluzione generale di un'equazione diff.
non omogenea si ottiene sommando alla soluzione
generale dell'equaz. omogenea associata una soluzione
particolare.
Nel nostro caso poiche' la prima equaz. del sistema
ha la soluzione evidente x=1/2,bastera' risolvere
l'equaz. x"+2x=0 e aggiungervi 1/2.
Francamente non ricordo se questo vale anche per i sistemi.
Il resto delle tue domande richiede ,praticamente,una
trattazione sui sistemi di equaz. differenziali (lineari).
Robetta da ....brividi.
karl.
Ho rivisto il tutto e volevo precisare alcune cose
nel primo esercizio hai fatto tutto correttamente solo che se vedi la traccia la funzione è meno valore assoluto di x mentre tu l'hai trattata come fosse valore assoluto di x ecco perchè i segni risultano opposti....
riguardo al secondo volevo chiederti se quando calcoli -1[-4+k+2] il meno davanti al primo 1 deriva da qualche formula perchè mi sembra di aver studiato questo metodo in algebra o sbaglio?
per il terzo i sistemi si trattano in maniera differente e devo cercare il modo di risolverlo comunque ti do le soluzioni del sistema omogeno associato e di quello completo casomai ti venisse in mente qualcos'altro
soluzioni del sistema omogeneo associato:
x(t) = 23C*cos[(2^(1/2))*t+D]
y(t) = A*cos(5t + B) + 3*C*cos[(2^(1/2))*t+D]
soluzioni del sistema di equazioni differenziali non omogeneo
x(t) = 23C*cos[(2^(1/2))*t+D] + 1/2
y(t) = A*cos(5t + B) + 3*C*cos[(2^(1/2))*t+D] + 13/50
grazie di tutto
ciao
steven
nel primo esercizio hai fatto tutto correttamente solo che se vedi la traccia la funzione è meno valore assoluto di x mentre tu l'hai trattata come fosse valore assoluto di x ecco perchè i segni risultano opposti....
riguardo al secondo volevo chiederti se quando calcoli -1[-4+k+2] il meno davanti al primo 1 deriva da qualche formula perchè mi sembra di aver studiato questo metodo in algebra o sbaglio?
per il terzo i sistemi si trattano in maniera differente e devo cercare il modo di risolverlo comunque ti do le soluzioni del sistema omogeno associato e di quello completo casomai ti venisse in mente qualcos'altro
soluzioni del sistema omogeneo associato:
x(t) = 23C*cos[(2^(1/2))*t+D]
y(t) = A*cos(5t + B) + 3*C*cos[(2^(1/2))*t+D]
soluzioni del sistema di equazioni differenziali non omogeneo
x(t) = 23C*cos[(2^(1/2))*t+D] + 1/2
y(t) = A*cos(5t + B) + 3*C*cos[(2^(1/2))*t+D] + 13/50
grazie di tutto
ciao
steven
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