Ridotta di una serie

[mirko9991]

ciao!
Ho il seguente problema:
facendo degli esercizi sulle serie numeriche ho incontrato questa:
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n+1) - sqrt(n))/sqrt(n^2+n) $
Per studiarne il carattere mi sono calcolato la ridotta $S_n$ che secondo me è $1- 1/sqrt(n+1)$, invece la soluzione riportata nell'esercizio è $1- 1/sqrt(n)$
Ho sbagliato io o è un errore del libro?
Se è un mio errore, mi potreste dire perchè al denominatore non è n+1 ma solo n?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto...

[clrscr]

"mirko999":ciao!
Ho il seguente problema:
facendo degli esercizi sulle serie numeriche ho incontrato questa:
$\sum_{n=1}^oo (sqrt(n+1) - sqrt(n))/sqrt(n^2+n) $
Per studiarne il carattere mi sono calcolato la ridotta $S_n$ che secondo me è $1- 1/sqrt(n+1)$, invece la soluzione riportata nell'esercizio è $1- 1/sqrt(n)$
Ho sbagliato io o è un errore del libro?
Se è un mio errore, mi potreste dire perchè al denominatore non è n+1 ma solo n?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto...

La tua soluzione dovrebbe essere giusta..
Io ho ragionato così:
considero $S_n=sum_(n=1)^n 1/(sqrt n)-1/(sqrt(n+1))$.
Ad esempio con $n=3$ otteniamo:
$S_3=1-1/sqrt 2 +1/sqrt 2 - 1/sqrt 3 + 1/ sqrt 3 - 1/sqrt 4=1-1/sqrt 4$ questo ragionamento per ogni "n". Da questo la tua tesi...

[Dorian1]

Con opportune manipolazioni algebriche si può vedere che il termine generale della serie è $1/sqrt(n)-1/sqrt(n+1)$.
Scrivendo esplicitamente la ridotta $m$-esima si ha:
$S_m=(1-1/sqrt(2))+(1/sqrt(2)-1/sqrt(3))+(1/sqrt(3)-1/sqrt(4))+ ... +(1/sqrt(m-1)-1/sqrt(m))+(1/sqrt(m)-1/sqrt(m+1))$

e (dal momento che il secondo termine si semplifica col terzo, il quarto con il quinto, eccetera...):

$S_(m+1)=1-1/sqrt(m+1)$.

Abbiamo lo stesso risultato.

[mirko9991]

ok! Grazie ad entrambi!!