Ricoprimenti di un insieme
Una domanda banale che ovviamente è sorta per farsi pippe mentali 
(questa definizione l'ho rivista per caso e m'è cascato l'occhio su un dettaglio su cui non ci avevo mai fatto caso)
Sia $EsubRR^n$. Sia ${I_k}_{k\in I}$ una famiglia al più numerabile di intervalli chiusi. Se $E\sub uuu_{k in I} I_k$ allora ${I_k}_{k\in I}$ si dice ricoprimento di $E$.
Domanda: perchè nella definizione ci preoccupiamo di sottolineare il fatto che la famiglia ${I_k}_{k\in I}$ deve essere al più numerabile?...
(questa definizione l'ho rivista per caso e m'è cascato l'occhio su un dettaglio su cui non ci avevo mai fatto caso)Sia $EsubRR^n$. Sia ${I_k}_{k\in I}$ una famiglia al più numerabile di intervalli chiusi. Se $E\sub uuu_{k in I} I_k$ allora ${I_k}_{k\in I}$ si dice ricoprimento di $E$.
Domanda: perchè nella definizione ci preoccupiamo di sottolineare il fatto che la famiglia ${I_k}_{k\in I}$ deve essere al più numerabile?...
Risposte
Beh, come sai, di solito i ricoprimenti non sono necessariamente numerabili. Ma ci sono proprietà topologiche che li richiedono così. Proprio oggi stavo approfondendo gli spazi di Baire, che sono un caso in cui la numerabilità è importante. Cosa ci fai, dopo, con quegli intervalli?
E' curiosa la definizione di ricoprimento riportata. E' vero che per applicare la teoria dei ricoprimenti serve più struttura però richiedere che nella pura definizione di ricoprimento ci si limiti in partenza a:
1) gli intervalli siano tutti chiusi
2) gli intervalli siano in quantità numerabile
mi sembra eccessivo. Per altro faccio osservare che per la definizione di compattezza servono i ricoprimenti fatti da insiemi aperti...
1) gli intervalli siano tutti chiusi
2) gli intervalli siano in quantità numerabile
mi sembra eccessivo. Per altro faccio osservare che per la definizione di compattezza servono i ricoprimenti fatti da insiemi aperti...
la contestualizzo: Usando questa definizione si può definire la misura esterna dell'insieme $E$. Ora ho iniziato un corso su Lebesgue.
La misura di $E$, $|E|_e="inf"{sumv(I_k)|Esubuuu_{kinI}I_k}$. La cosa sarà banale, ma penso che se un insieme può essere ricoperto solo da coperture non numerabili questa scrittura perde di senso, penso... ma perchè? Ovviamente sono le ultime frasi di fine lezione e li per li non ci ho pensato... poi a casa sorgono i dubbi
@Luca: infatti è la prima volta che per ricoprire qualcosa non uso gli aperti della topologia... c'è un sottile mistero che mi sfugge.
La misura di $E$, $|E|_e="inf"{sumv(I_k)|Esubuuu_{kinI}I_k}$. La cosa sarà banale, ma penso che se un insieme può essere ricoperto solo da coperture non numerabili questa scrittura perde di senso, penso... ma perchè? Ovviamente sono le ultime frasi di fine lezione e li per li non ci ho pensato... poi a casa sorgono i dubbi
@Luca: infatti è la prima volta che per ricoprire qualcosa non uso gli aperti della topologia... c'è un sottile mistero che mi sfugge.
(Ho messo "inf" tra virgolette, altrimenti viene interpretato come $inf$).
fu, dovresti definire $v(I_k)$. Presumo sia il volume elementare dei plurintervalli, giusto? Tieni presente che stai parlando di un "qualcosa" di $sigma$-additivo, ovvero numerabilmente additivo. Quindi funziona bene se accoppiato a ricoprimenti numerabili.
Hai già incontrato questi concetti? "Misura numerabilmente additiva" ti dice niente?
fu, dovresti definire $v(I_k)$. Presumo sia il volume elementare dei plurintervalli, giusto? Tieni presente che stai parlando di un "qualcosa" di $sigma$-additivo, ovvero numerabilmente additivo. Quindi funziona bene se accoppiato a ricoprimenti numerabili.
Hai già incontrato questi concetti? "Misura numerabilmente additiva" ti dice niente?
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