Riconoscere serie telescopiche

[Calabi]

Salve a tutti!
Sto tribolando nel riconoscere un paio di serie telescopiche..
Sono simili.
La prima:

$\sum_{k=1}^infty 1/(k(k+1)(k+2))$

Ho fatti vari tentativi e la cosa che si avvicina di più (e che comunque non torna) è questa:
$1/(k(k+2)) - 1/((k+1)(k+3))$
che però è uguale a $(2k+3)/(k(k+1)(k+2)(k+3))$
E l'idea era quella di moltiplicare e dividere la serie originale per $k+3$ nella speranza di ottenere qualcosa di più maneggevole
$1/(k(k+1)(k+2))=(k+3)/(k(k+1)(k+2)(k+3))$
E invece nix...
Qualche suggerimento?

(ps. l'altra serie che non riesco a riconoscere è proprio:
$\sum_{k=1}^infty 1/(k(k+1)(k+2)(k+3)$)

[Quinzio]

Io troverei i fratti semplici:

$1/(k(k+1)(k+2))=(1/2)/k+(-1)/(k+1)+(1/2)/(k+2)$

Mettendoli "in fila" in una specie di matrice dove tutti i numeri vanno sommati, si vede che gli unici che "sopravvivono" sono quelli delle prime due colonne, (poi dalla 3° colonna la somma è zero), che quindi sono la somma cercata: $1/2+1/4-1/2=1/4$

$\sum_(i=1)^(oo) 1/(k(k+1)(k+2)) = ( ((1/2)/1,(1/2)/2,(1/2)/3,(1/2)/4,(1/2)/5,...) , (0 ,-1/2,-1/3,-1/4,-1/5,...) , ( 0,0 ,(1/2)/3,(1/2)/4,(1/2)/5,...))$