Riconoscere il gradiente dalla derivata direzionale
Ciao ragazzi!
Ho dei problemi, come da titolo, a riconoscere il gradiente di una funzione a più variabili, una volta individuata la derivata prima lungo una direzione.
Ecco un esempio delle situazioni in cui mi trovo in difficoltà:
Sia $X$ uno spazio Euclideo ed $x \in X$. Scrivere lo sviluppo al secondo ordine della funzione $f(x) = x / ||x||^2$ in un punto arbitrario $x \ne 0$.
Per risolvere l'esercizio, è necessario trovare il gradiente, per farlo, come prima cosa, mi ricavo la derivata direzionale:
$Df(x)v = v / ||x||^2 - {2x}/ ||x||^4$, $v \in X$.
Ed è a questo punto che mi blocco, qual è l'operatore lineare il cui prodotto scalare contro $v$ mi dà la derivata direzionale della funzione applicata in $v$? Non riesco a tirarlo fuori!
Mi dareste una grossa mano aiutandomi! Grazie!
Ho dei problemi, come da titolo, a riconoscere il gradiente di una funzione a più variabili, una volta individuata la derivata prima lungo una direzione.
Ecco un esempio delle situazioni in cui mi trovo in difficoltà:
Sia $X$ uno spazio Euclideo ed $x \in X$. Scrivere lo sviluppo al secondo ordine della funzione $f(x) = x / ||x||^2$ in un punto arbitrario $x \ne 0$.
Per risolvere l'esercizio, è necessario trovare il gradiente, per farlo, come prima cosa, mi ricavo la derivata direzionale:
$Df(x)v = v / ||x||^2 - {2x
Ed è a questo punto che mi blocco, qual è l'operatore lineare il cui prodotto scalare contro $v$ mi dà la derivata direzionale della funzione applicata in $v$? Non riesco a tirarlo fuori!
Mi dareste una grossa mano aiutandomi! Grazie!
Risposte
Scusa, delca85, ma non ti ho già risposto qui?... Insomma, i conti sono sempre gli stessi, no?
Che cos'è il gradiente di una funzione vettoriale? È per caso uno scalare? un vettore? una matrice?
Come si calcola? Lo puoi fare componente per componente e poi mettere insieme i risultati?
Che cos'è il gradiente di una funzione vettoriale? È per caso uno scalare? un vettore? una matrice?
Come si calcola? Lo puoi fare componente per componente e poi mettere insieme i risultati?
Ciao gugo82!
Ti ringrazio per darmi ancora attenzione.
Il problema è, almeno per quanto penso io, diverso da quello dell'altra volta. Io non ho problemi a riconoscere la derivata direzionale della funzione, ma ad esplicitare il vettore che rappresenta il gradiente per quella funzione.
Quando eseguiamo esercizi tipo questo in classe, l'esercitatrice "traduce" la derivata trovata in identità, vettori trasposti...
Nel caso dell'esercizio che ho proposto io, questo mi verrebbe da dire che sia il gradiente:
$1/ ||x||^2 - {2x^Tx}/ ||x||^4$.
E' corretto?
Ti ringrazio per darmi ancora attenzione.
Il problema è, almeno per quanto penso io, diverso da quello dell'altra volta. Io non ho problemi a riconoscere la derivata direzionale della funzione, ma ad esplicitare il vettore che rappresenta il gradiente per quella funzione.
Quando eseguiamo esercizi tipo questo in classe, l'esercitatrice "traduce" la derivata trovata in identità, vettori trasposti...
Nel caso dell'esercizio che ho proposto io, questo mi verrebbe da dire che sia il gradiente:
$1/ ||x||^2 - {2x^Tx}/ ||x||^4$.
E' corretto?
Ecco un ulteriore esempio, che, forse, potrebbe rendere più chiara la difficoltà che ho:
Dato uno spazio Euclideo $X$ ed un suo elemento $u \ne 0$ e la funzione $f: X \rarr RR$ definita da $f(x) = || x||^2$,
calcolare la derivata seconda ed Hessiano della funzione e dimostrare che la funzione non sia convessa.
Prima di tutto mi calcolo derivata prima e gradiente, successivamente la derivata seconda, che mi risulta:
$Df(x) (v, w) = 2 + 2+2$
A questo punto devo dedurre l'Hessiano, e qui iniziano i miei problemi. E' corretto dire:
$Hf(x) = 2Id + 2x +2u$?
L'$\epsilon$ l'ha utilizzato in classe la mia professoressa.
Spero di non aver commesso troppi errori e che qualcuno possa aiutarmi!
Dato uno spazio Euclideo $X$ ed un suo elemento $u \ne 0$ e la funzione $f: X \rarr RR$ definita da $f(x) = || x||^2
calcolare la derivata seconda ed Hessiano della funzione e dimostrare che la funzione non sia convessa.
Prima di tutto mi calcolo derivata prima e gradiente, successivamente la derivata seconda, che mi risulta:
$Df(x) (v, w) = 2
A questo punto devo dedurre l'Hessiano, e qui iniziano i miei problemi. E' corretto dire:
$Hf(x) = 2
L'$\epsilon$ l'ha utilizzato in classe la mia professoressa.
Spero di non aver commesso troppi errori e che qualcuno possa aiutarmi!
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